Suite récurrente : deux "théorèmes de convergence"

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Bonjour,

je cherche à démontrer les théorèmes suivants : on étudie les suites de la forme , avec . On va distinguer les cas où f est croissante et f décroissante.

Voici les énoncés :
TH1 : si f est croissante sur , alors soit a pour limite un point fixe de f, soit a pour limite une extrémité de .

TH2 : si f est décroissante sur , alors f admet un unique point fixe et oscille autour de ce point.

Pour prouver ces théorèmes je ne sais pas comment m'y prendre, car je ne comprend pas un truc : converger vers une extrémité de , c'est quoi ? Une suite peut-elle "converger vers " ?

Dois-je considérer un intervalle avec ??

Merci pour votre aide!

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Il faut bien sûr rajouter l'hypothèse f continue.

Posté par kioups kioups

Bonsoir, dans le Monier MPSI d'Analyse, je lis que I doit être un intervalle fermé.
Ce qui élimine donc ton cas.

J'y lis également qu'une suite ayant pour limite l'infini est divergente.

Posté par robby3 robby3

salut
regarde ici pour la leçon,c'est assez bien fait:

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Merci.

Par contre peut-on m'expiquer les affirmations suivantes :
(i) l'existence de point fixe n'est pas une condition suffisante pour que la suite converge;
(ii) la continuité n'est pas une condition nécessaire pour que la suite converge

Pour le (i), on prend f=-Id et pour le (ii) on prend f=E (partie entière). Mais je saisi pas!

Posté par mouss33 mouss33

Pour la ii), prend f(x)=E(x) et U_0=1

Ta suite converge et pourtant, f n'est pas continue.

Posté par robby3 robby3

pourquoi converge?

Posté par mouss33 mouss33

Avec la condition initiale que j'ai donné, ta suite est constance et vaut systématiquement 1!

Posté par mouss33 mouss33

constante pardon!

Posté par mouss33 mouss33

et si on prend f(x)=-x, elle a un point fixe (c'est 0) et avec la condition U0=1, la suite diverge car elle ne prend que 2 valeurs => 1 et -1.

Posté par robby3 robby3

ok!

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Merci 'ti mouss!

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Supposons f continue.
Le TH1 nous dit que si converge alors cette limite est un point fixe de f.
Par conséquent, si l'ensemble des points fixes de f est vide, alors diverge.

Ce résultat est-il vrai si f n'est pas continue ?
Autrement dit, on se donne f non continue tel que l'ensemble des points fixes de f soit vite : alors est-ce que nécessairement diverge ?

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

NON! Prends f définie par f(x)=0 si et f(0)=1. Bien sur elle n'a pas de point fixe, mais quelque soit la suite tend vers 0.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Bonjour Camélia!
Merci. Mais alors, comment réaliser l'étude d'une telle suite récurrente ? Comment faire cette étude lorsque f n'est pas continue ?

Par contre, je ne saisi toujours pas le TH1 en fait Qu'est-ce que cela signifie que la limite est une extrémité de ? Pourquoi ne peut-on pas prendre pour un intervalle ouvert ?

Posté par Camélia Camélia

Si f est croissante et I borné, la suite est monotone, majorée ou minorée selon le cas, donc elle converge... parfois vers une extrémité... Tes énoncés me paraissent bizarres! Il n'y a pas d'hypothèses au début du chapitre?

Sans hypothèse, il me semble que tu ne peux rien dire de plus que monotone dans le cas croissant et les suites extraites (u_{2n}) et (u_{2n+1}) monotones dans le cas décroissant!

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Il n'y a pas de chapitre! Je rédige une leçon d'oral!

Alors j'ai bien compris le fait que si f continue alors soit f est croissant et alors monotone, soit f décroissant et alors et sont de monotonie contraire.

Maintenant je ne saisi pas pourquoi dans le cas ou f est croissant, il faut regarder si \Large (u_n) est majorée ou non. Dans le papier de Gilles Costantini page 14, je ne saisi pas ce passage.

Posté par Camélia Camélia

Non, ce que j'ai écrit est vrai même si f n'est pas continue... Si f est monotone on a les deux cas dont on parle, mais ça n'assure pas la convergence, sauf si l'intervalle est borné.

J'ai jeté un coup d'oeil rapide au papier et j'ai quand même l'impression que f est toujours continue...

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ok! J'avais pas compris le théorème.
Ce que je ne saisi pas, c'est comment conclure quand a la convergence ou divergence de lorsque f est croissante, et surtout comment démontre-t-on ce résultat!

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Par exemple :

j'ai , et .

Comme f est continue, si converge c'est vers un point fixe de f. J'ai regardé, et il n'y en a qu'un seule .

Maintenant, j'ai calculé la dérivé et je trouve que f décroît sur et croît sur .

Après je vois pas comment poursuivre!

Posté par lafol lafol

Bonjour

le minimum, atteint en racine de 2, vaut racine de 2. Donc pour tout n supérieur ou égal à 1,
de plus, est négatif si x supérieur à racine de 2

donc pour tout n supérieur ou égal à 1, : ta suite est décroissante et minorée donc convergente

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Merci lafol. J'ai pu finalement résoudre mon problème.