géomètrie dans l'espace (triangles, aires)

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant (dsl pour le dessin fait avec Paint mais je ne pouvais pas faire autrement):



voici l'énoncé:
La figure est composée de 2 triangles EFK et KLM, rectangles en F et en M. Les points F, K, M sont alignés.

1) Démontrer que l'angle EKL est un angle droit.
2) Démontrer que les droites (EF) et (LM) sont parallèles et en déduire la nature du quadrilatère EFML.
3) Calculer l'aire du quadrilatère EFML en utilisant une seule formule de calcul puisque nous avons déterminé sa nature à la question 2).

Calculer l'aire de EFML, en fonction de a, b et c, de deux façons différentes et en déduire la démonstration d'un théorème célèbre.
(On doit cette démonstration à James Abram Garfield (1831-1881) qui fut le 20ème président des Etats Unis d'Amérique.)


mes réponses:
1) Le plus grand côté du triangle EKL, EL, est le diamètre du cercle dans lequel s'inscrit le triangle. Donc ce triangle est rectangle en K, et le diamètre du cercle est son hypoténuse.
(ou alors utiliser Pythagore, mais avec les lettres ce n'est pas très facile, à moins de remplacer ces lettres par des valeurs).

2) Il me semble que ce quadrilatère est un trapèze, et je voulais en déduire que les droites (EF) et (LM) sont parallèles, mais il faut faire l'inverse. Il faut d'abord démontrer qu'elles sont parallèles et ensuite en déduire la nature de EFML...
Mais comme ces deux droites sont perpendiculaires à une même droite (FM), ne sont-elle pas //?

3) je crois que c'est un trapèze donc la formule est:
Aire: (a+b)divisé par 2 et fois la hauteur   (????)

Et je n'ai pas encore trouvé pour la dernière question, mais je vais chercher

Voilà! J'espère que vous m'aiderez
Merci.

Posté par Coll Coll

Bonjour,

Pas tellement "d'espace" dans tout cela.

Question 1 : tu n'as encore rien démontré. Aucune de ces deux idées ne convient.

Intéresse-toi plutôt aux angles des triangles EFK et KML

Posté par Tilk_11 Tilk_11

Bonjour,
le but de l'exercice est de démontrer le théorème de Pythagore à la manière de...
pour la question 1)
ce que tu as fait est incorrect...
affirmer que " EL, est le diamètre du cercle dans lequel s'inscrit le triangle." suppose que le triangle est rectangle, or tu n'en sais rien puisqu'on te demande de le démontrer...

les deux triangles EFK et KLM sont rectangles en F et L de plus leurs côtés sont égaux donc ils sont isométriques


et


de plus
°
donc
°
et comme
est plat

°

il en résulte que ° et que le triangle EKL est rectangle en K

2)tu as raison, il faut d'abord démontrer que les droites sont parallèles....

3)la formule de l'aire du trapèze est bonne...

pour la dernière question ajoute l'aire des trois triangles rectangles pour avoir une autre façon de calculer l'aire du trapèze...

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

Merci!!! ça m'aide beaucoup
dsl pour le titre mais je ne savais pas trop quoi mettre :s (au moins je n'ai pas mis "DM à rendre pour vendredi aidez moi!!!" lol)

encore merci
a bientôt peut-être

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

Euh...en relisant bien ta réponse Tilk, j'ai remarqué le problème suivant:
Le triangle KLM n'est pas rectangle en L mais en M...et le coté LM n'est pas égal au côté EF mais au côté FK, et KM est égal à EF.

Comment je fais alors? Il faut que j'utilise quand même l'isométrie?
Merci.

Posté par Coll Coll

Bien sûr qu'il faut utiliser l'isométrie.

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

Oki merci beaucoup
Alors ça donne ceci(?):
les deux triangles EFK et LMK sont rectangles en F et M de plus leurs côtés sont égaux donc ils sont isométriques:
angle FKE = angle MLK
angle KEF = angle LKM
de plus
angle KEF + angle FKE = 90° (car dans un triangle la somme des trois angles est égale à 180°)
donc:
angle LKM + angle FKE = 90°
et comme
angle FKM est plat (on nous dit dans l'énoncé que les points F, K et M sont alignés)

angle FKE + angle EKL + angle LKM = 180°
il en résulte que l'angle EKL est égal à 90° et que le triangle EKL est rectangle en K.

Merci.
Voila! Est ce que c ça? (je me suis beaucoup inspirée de la réponse de Tilk lol)
Je pense que oui, et j'ai compris!

Posté par Coll Coll

Oui, c'est cela et tu l'exprimes correctement (preuve que tu as compris) !

Question 2
Oui, tu as proposé la réponse correcte : puisque les droites (EF) et (LM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (FM) alors elles sont parallèles entre elles.

Question 3
Oui, l'aire d'un trapèze est bien (a + b) hauteur / 2

Mais que vaut la hauteur ?

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

Je pense que LM est la base du trapèze et que sa hauteur est le côté FM, donc elle est égale à (a+b)

Merci

Posté par Coll Coll

Exact !

Donc, comment écris-tu l'aire de ce trapèze ?

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

aire du trapèze:
(a+b)(a+b) , le tout divisé par 2 = (a+b)au carré, divisé par 2.

si on remplace par le nom des côtés, ça donne:
(LM+EF) FM , divisé par 2.

Posté par Coll Coll

Conserve cette expression :



Et la fin du problème maintenant...

Comment peux-tu encore écrire cette aire (par la somme des aires des trois triangles) ?

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

aire d'un triangle (rectangle): 1/2 ab
donc:
-aire du triangle EFK = 1/2 FK EF
-aire du triangle LMK = 1/2 KM ML
-aire du triangle EKL = 1/2 KL EK

Donc aire du trapèze = 1/2 (FK+EF+KM+KL+ML+EK)

Posté par Coll Coll

Parfait... sauf que, bien sûr, il faut donner la réponse avec a, b et c

Aire du trapèze = ... ?

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

aire du trapèze = 1/2 (2a+2b+2c)

c'est aussi égal à: (a au carré divisé par 2) + (b au carré divisé par 2) + (c au carré divisé par 2)
en faisant (a+b) au carré, divisé par 2.

Posté par Coll Coll

Je ne comprends pas.

- aire du triangle EFK = ?
- aire du triangle LMK = ?
- aire du triangle EKL = ?

en fonction de a, b et c
______________________

Que vaut (a + b)² ?

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

- aire du triangle EFK = 1/2 ab
- aire du triangle LMK = 1/2 ab
- aire du triangle EKL = 1/2 c au carré

(a+b) au carré = a au carré + 2ab + b au carré (identité remarquable)

Posté par Coll Coll

Parfait !

Il reste une ligne (à peu près) et c'est fini !

(1/2)(a² + 2ab + b²) = (1/2)(ab + ab + c²)

Quel est le "théorème fameux" que tu viens de re-démontrer ?

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

En simplifiant, ça nous donne a au carré + b au carré = c au carré.

C'est le théorème de Pythagore

Posté par Coll Coll

Posté par DarkAngel854 DarkAngel854

lol ^^
merci pour tout
j'ai vraiment bien compris alors qu'au départ...
merci merci merci!!!  
à bientôt

Posté par Coll Coll

Je t'en prie. Là est bien l'essentiel : que tu aies bien compris

A une prochaine fois !

Posté par Carolineee Carolineee

Bonsoir , je n'ai pas réussi à comprendre la méthode pour la deuxième façon de calculer l'aire de EFML. Pourriez - vous me réexpliquer s'il vous plaît ?