devoir maison en géométrie pour lundi

Posté par bilou bilou

bonjour,
pourriez vous m'aider pour cet exercice que je ne parviens pas à résoudre.
merci d'avance pour vos réponses
ABCD est un parallélogramme, I est le milieu de [AB] et K est le milieu de [CD].
(AK) coupe (BD) en M et (CI) coupe (BD) en N.
a) démontrer que NB=MN=MD (utiliser théorème de thalès)
b) quel rôle joue le point N pour le triangle ABC ?

Posté par gaa gaa

bonjour,
(AK) et (IC) sont parallèles ( [AI] et [KC] sont // et égaux donc AIKC est un parallélogramme et (AI) et (IC)//)
comme K est milieu de [DC], la réciproque du téorème de la droite des milieux (application particulière du théorème de Thalès) te permet de dire que M est au milieu de [DN]
par le même raisonnement dans AMB, N est le milieu de [MB]
par conséquent on a (DM]=[MN]=[NB]
regarde bien le triangle ABC
tu sais que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
par conséquent (BD) sera une médiane du triangle ACB
Si O est ce point on a aussi OM=ON (dans AICK)
tu as les éléments pour affirmer que N est le centre de gravité du triangle ACB
je te laisse trouver pourquoi (c'est du cours)

Posté par bilou bilou

merci pour ta réponse mais je n'arrive pas à comprendre ta réponse.
pour le a) je n'ai pas vu en cours la réciproque du théorème de la droite des milieux et je n'arrive pas à l'appliquer à mon exercice.
pour le b) je ne me suis pas encore penché dessus
si tu pouvais me réexpliquer ça avec toutes les éapes ce serait sympa
merci

Posté par gaa gaa

K est le milieu de [DC] donc
DK/DC=1/2  
comme (AK)// à (IC)
par Thalès
DK/DC=DM/DN donc M est le milieu de [DN]
de la même manière dans ABM N sera le milieu de [AM]
et on aura donc
DM=MN=NB
pour le b) tu auras bien compris que, O étant le milieu de [AC] (BO) sera médiane du triangle ACB
so DO=OB et DM=NB
tu as forcément OM=ON
donc ON=1/2MN=1/2NB
N étant sur la médiane du triangle BAC, est tel que
NB=2NO.
cela signifie que N est au 2/3 de BO, ce qui est la position du centre de gravité d'un triangle sur la médiane.
N est donc le centre de gravité du triangle ACB

Posté par bilou bilou

merci pour ton aide.
j'y suis parvenu