Suite récurrente posée à l'oral de X

Posté par gnugnu gnugnu

Bonjour à tous,

Actuellement en prepa au Lycée Louis Le Grand en maths spe je fais un TIPE mathématiques et j'aurai besoin de déterminer la nature de

x_n+1=x_n+1/(x_n-1)

x₀>1
(x_n) est une suite réelle.

et d'en trouver un développement asymptotique.

Merci d'avance.

Posté par LoLLoLLoL LoLLoLLoL

Deja remarque pour tout n xn>1 .Si xn converge , alors ...

Posté par gnugnu gnugnu

Le problème est là, il n'y a aucun point fixe. il se situe en l'infini. on le voit bien à l'aide d'un développement asymptotique de la fonction associée à cette suite récurrente.

Posté par LoLLoLLoL LoLLoLLoL

La suite diverge.

Posté par lolo271 lolo271

Bonjour,

Je ne garantis pas les calculs (parce que j'ai fait ça vite) mais l'idée suivante devrait marcher :

a) SI  x_n   n^a  tu calcules  a  

b) vu le résultat précédent tu dois pouvoir prouver qu'il existe  A et  B  (récurrence) positifs stricts tels que
A n^a < x _n < B n^a

c)  ta formule de récurrence est télescopique tu divises par ce qu'il faut pour avoir
  la somme de droite alors soit convergente soit un O assez facile d'une puissance de n  et tu as ton début de DL.

Posté par kybjm kybjm

Pour x \ {1} on pose f(x) = x + 1/(x - 1). On a f(x) = x + (1/x)(1 + (x)) où (x) tend vers 0 quand x tend vers +.
Soit u une suite à valeurs dans ]-1 , +[ vérifiant u(1 + .) = f o u . Il en existe et elles sont toutes croissantes non majorées.

L'astuce :
  Soit a > 0 et v = u ^-a. On a donc v 0 et v(n + 1) = v(n)(1 + v(n)^2/a + o(1))^-a = v(n) - av(n)^1+2/a + o(1).
Si on prend a = -2 on a v(1 + .) - v 2  donc (Césaro) v(n)/n 2 et v est équivalente à la suite n 2n donc u a la suite n (2n)^1/2.