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Calcul d'un diamètre

Posté par
Resident
22-11-09 à 23:03

Bonsoir à tous,

je rencontre un petit problème à résoudre.

1 - un cylindre d'un diamètre de 61,5 cm.
Autour de ce cylindre, 2 cm de papier.


2 - à côté, un bobine de papier d'un diamètre de 135 cm.


Le problème consiste à trouver le nouveau diamètre si les 2 cm de papier sont enroulés autour de la bobine ?

édit Océane : merci de poster tes exercices sur le forum adéquat

Posté par
plumemeteore
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 00:37

Bonjour Résident.
Le cylindre
La coupe horizontale est deux cercles concentriques, le cercle intérieur de rayon 61,5/2 et le cercle extérieur ayant un rayon de 2 cm plus grand.
L'aire correspondant au papier est la différence des aires des deux disques.

La bobine
La coupe horizontale est aussi du cercles concentriques. L'aire du grand cercle est l'aire du petit cercle plus l'aire correspondant au papier. A partir de là, on peut calculer le diamètre du grand cercle.

aire = pi * diamètre² / 4
diamètre = (4 * aire / pi)

Posté par
Daniel62
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 00:40

bonsoir,

soit e l'épaisseur du papier

soit H la hauteur du papier sur la bobine

Longueur du papier

  = périmètre moyen * nombre de tours

  = (61,5 + 2/2)**2/e

  = (135 + H/2)**H/e

on égalise et on trouve une équation du second degré

H = 0,92277219 cm

diamètre = 135 + H

sauf erreur

Posté par
plumemeteore
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 01:23

Bonjour.
La longueur moyenne des tours sur le cylindre est (61,5+2)* puisque le diamètre extérieur est 61,5 + 2*2.
De même le diamètre moyen sur la bobine est (135+H)*.

Posté par
plumemeteore
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 01:23

je veux dire : la longueur moyenne des tours sur la bobine

Posté par
Daniel62
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 01:40

ah oui bien vu

j'étais parti sur le rayon

63,5*2 = (135+H)*H

127 = 135H + H²

H² + 135H - 127 = 0

H = 0,934275 cm

Posté par
Titi24
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 09:21

Pour ma part, je suis parti de ce principe :

Surface d'un disque = π.R^2


A :

cylindre + 2cm => π.32,75^2 =  3369,5545 cm2
cylindre =>       π.30,75^2 =  2970,5722 cm2
                         -  ________________

surface de la couronne      =   398,9823 cm2



B :

bobine =>         π.67,5^2  = 14313,8815 cm2

C :

ajout couronne => 14313,8815 cm2 + 398,9823 cm2 = 14712,8638 cm2

d'où : π.R^2 = 14712,8638 cm2
        R^2  =  4683,25   cm2
racine(R^2) =    68,4343 cm

      rayon     x  2
              _______________

   diamètre  =   136,8686 cm

=========================================================
La formule complète devrait être cela :

{ racine ( ( π.R^2 - π.R1^2 + π.R2^2) ) / π ) } x 2

=========================================================

R  = rayon de la bobine                : 135  / 2 = 67,5
R1 = rayon du cylindre                 : 61,5 / 2 = 30,75
R2 = épaisseur du papier ajouter à R1  :      + 2 = 32,75

=========================================================
La formule simplifiée (que des π dans la racine)

racine(R^2 - R1^2 + R2^2) x 2 =  136,8685500763415064 cm

=========================================================

Autre formule pour intégrer facilement l'épaisseur :

=========================================================

R  = rayon de la bobine                : 135  / 2 = 67,5
R1 = rayon du cylindre                 : 61,5 / 2 = 30,75
E  = épaisseur du papier ajouter à R1  :          =  2

=========================================================

Identité remarquable : (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

R2^2 = (R1+E)^2

(R1+E)^2 = R1^2 + 2.R1.E + E^2

   racine(R^2 - R1^2 + R1^2 + 2.R1.E + E^2) x 2

===========================================================
   racine(R^2 + 2.R1.E + E^2) x 2 = 136,8685500763415064 cm
===========================================================

Où est mon erreur ?

Cordialement,

Thierry

Posté par
Daniel62
re : Calcul d'un diamètre 23-11-09 à 17:29

Bonsoir,

135 + 2 * 0,934275 = 136,86855 cm

on a bien la même chose

Posté par
Resident
re : Calcul d'un diamètre 24-11-09 à 10:01

Merci à tous pour vos réponses !

Une autre question :
Si je connaissais la main du papier, il serait facile, je suppose, d'en connaître la longueur ?

Posté par
Titi24
re : Calcul d'un diamètre 24-11-09 à 14:22

Daniel, nous sommes donc d'accord :

Calcul d\'un diamètre

Edit jamo : image placée sur le serveur de l'ile, merci d'en faire autant la prochaine fois.

Posté par
Albertus
re : Calcul d'un diamètre 24-11-09 à 17:48

Bonjour,
L'orsque l'on enroule du papier sur un rouleau, on construit une élicoïdale ou quelque chose dans le genre. Le rayon varie avec chaque rang de papier. Et l'épaisseur de chaque rang est de quelques microns. Je ne crois pas que l'on puisse partir sur des épaisseur moyennes et des rayons moyens.

Posté par
Albertus
re : Calcul d'un diamètre 24-11-09 à 17:50

En plus chaque rang est un ovale avec comme rayons r et r+e (e=épaisseur)

Posté par
Titi24
re : Calcul d'un diamètre 24-11-09 à 18:32

Lorsque l'on enroule du papier sur un cylindre... la forme de l'enroulement prend celle d'une spirale, non ?

A mon humble avis, il suffit tout d'abord de considérer chaque tour comme un cercle, puis en cumulant les périmètres, avoir une estimation de la valeur réelle et déterminer l'erreur pour construire la formule.

Posté par
Titi24
re : Calcul d'un diamètre 25-11-09 à 12:55

Edit jamo : image placée sur le serveur de l'ile, merci d'en faire autant la prochaine fois.

Bizarre ce soucis sur certain forums de vouloir s'approprier des documents ! M'enfin, ok, j'ai noté
Aussi, pourquoi n'est-il pas possible de rééditer un message posté ?

Posté par
Albertus
re : Calcul d'un diamètre 26-11-09 à 19:17

Bonjour,
Soit un papier d'épaisseur 0,2 mm. Il y a donc 100 tours sur la 1ere bobine.
La longueur totale du papier enroulé est de 196,38096 mètres.
Pour enrouler cette même longueur sur un rouleau de diametre égal à 135cm, il faut a peine plus de 46 tours soit une épaisseur de 9,2 mm.
Le nouveau diamètre est donc voisin de 135,92 cm
Les 136,86 annoncé sont erronés.
Pour chaque tour de papier la longueur enroulée est égale à pi d , avec d qui varie de 0,2 mm a chaque fois.
J'ai fait les calculs sur un tableur.

Posté par
Daniel62
re : Calcul d'un diamètre 26-11-09 à 21:12

Bonsoir,

Longueur = (61,5+2)**100 = 19949,11335 cm

Longueur = (135+0,934275038)**0,934275038/0,02 = 19949,11335 cm

Citation :
avec d qui varie de 0,2 mm a chaque fois

c'est faux, d varie de 0,4 mmm à chaque tour

Calcul d\'un diamètre



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