Transformations du plan et barycentre

Posté par lordmagnum lordmagnum

Bonsoir, je suis complétement perdu en géo et je suis en S.

J'ai un exo dont je ne comprends pas le moindre sens.

f est la transformation du plan qui à tout point M associe le point M' défini par :
MM' = aMA + MB - 2MC

1) a=1. Démontrer que f est une translation de vecteur u à préciser

déjà je ne comprend pas ça

2) a =/= 1.
a) démontrer que f admet un unique point invariant G. Exprimer G comme barycentre de A, B et C affectés de coefficients à préciser.

MM' = a MA + MB - 2MC
    = a MG + a GA + MG + GB - 2 MG - GC
    = (a-1)MG + a GA + GB - GC

Quoi faire après ? j'en sais rien

G = {(A;a);(B;1);(C;-2)}

b) Démontrer que GM' = (2-a) GM

Ne serait-ce plutôt pas (1-a) GM ?

d) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f lorsque a =/= 2.

Le vide total

D'habitude je n'ai pas de problème avec les maths mais là, je me sens vraiment nul.

Posté par lordmagnum lordmagnum

j'ai oublié de préciser que ABC est un triangle.

Posté par lordmagnum lordmagnum

j'ai résolu la b)

GM' = GM + MM'
= GM + aMA + MB - 2MC
or aMA + MB - 2MC = (a-1)MG (que je n'ai toujours pas démontrer)
=GM +(1-a)GM
= (2-a)GM

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

Si a = 1 alors MM' = MA+MB-2MC = AB-2AC (avec Chasles), donc vecteur constant, d'où translation.

ensuite : M invariant ssi M = M'
Ce qui donne aMA+MB-2MC = 0
Un seul point répond à la question : le barycentre de spoints (A,a),(B,1),(C,-2)

....

Posté par lordmagnum lordmagnum

merci littleguy mais je pour aMA + MB- 2MC = 0
je ramène G en disant que M tout point du plan ? ou par autre chose ?

Posté par littleguy littleguy


Peux-tu préciser ta question ? (j'ai du mal à te suivre)

Posté par lordmagnum lordmagnum

d'accord :
démontrer que f admet un unique point invariant G. Exprimer G comme barycentre de A, B et C affectés de coefficients à préciser.

Posté par littleguy littleguy

Je crois avoir répondu à 20:47, non ?

Posté par lordmagnum lordmagnum

ok donc :
l'égalité aMA + MB- 2MC = 0 admet qu'il existe un barycentre G. C'est bon ?

Posté par littleguy littleguy

Il faut que tu revoies ton cours :

si a+b+c est non nul alors l'équation aMA+bMC+cMC = 0 d'inconnue M admet une solution unique ; on l'appelle barycentre des points pondérés (A,a),(B,b),(C,c).

Posté par lordmagnum lordmagnum

cela je le sais.

mais j'aimerais avoir du G à la place de M pour l'égalité G = bar......

Posté par littleguy littleguy

Il suffit d'appeler G la solution unique...

Posté par lordmagnum lordmagnum

étrange, j'avais l'habitude de dire que "Comme M est tout point du plan, M = G", mais je ne sais pas si M est en tant que tel ici.

Posté par littleguy littleguy

C'est ça qui me semble étrange... Tout point M du plan est confondu avec G ??

Posté par lordmagnum lordmagnum

enfin c'était avec l'associativité et il fallait prouver que G est le point d'intersection de 3 droites, je ne pense pas que ça marche dans tous les cas. Mais on a toujours des DM avec de nouvelles notions, telles que points invariants, je n'avais jamais vu ça avant.

Posté par lordmagnum lordmagnum

C) Que dire f quand a=2 ?

f est égale à 0.


Exo 2 :

ABCD est un rectangle de centre 0.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
On note f la transformation qui à tout point M du plant associe le point M' défini par :
1) a) Exprimer MM' en fonction de MG
MM' = MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GB = 3MG

b) En déduire que f admet un unique point invariant. Préciser le.
Il faut résoudre f(M)= M

Donc : MM' = 0 = GA + GB + GC.
G est l'unique point invariant.

c) Déterminer la nature et les caractéristiques de f.
aucune idée.

2) On note C' l'image de C par la transformation f.
a) Faire le figure.
b) Déterminer l'image des points O et B par f. Justifier
c) En déduire que C' est un cercle tangent à C.

Posté par lordmagnum lordmagnum

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