aire quadrilatère dans un triangle

Posté par Maelys Maelys

Je n'arrive pas é résoudre cette partie du pb, bien que jy ai passé 1/2h.. merci de bien me venir en aide..

Voici l'énoncé..

On considère un triangle ABC rect en A
(AH) est la hauteur de [BC]
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
La droite (IJ) coupe (AH) en K

Question :
1. Montrer que l'aire du quadrilatère AJHI est égale à l moitié de l'aire du triangle ABC.

2. Démontrer que les points A, H, I, J appartiennent à un meme cercle de centre O à definir (je sais qu'on defini O par les mediatrices  de IJ et AH mais comment demontrer la suite??)

3. On appelle M le milieu de [BC]. Montrer que la droite (AO)coupe [C] en M

Merci par avance de me donner au moins des pistes

Posté par Maelys Maelys

Je n'arrive pas é résoudre cette partie du pb, bien que jy ai passé 1/2h.. merci de bien me venir en aide..

Voici l'énoncé..

On considère un triangle ABC rect en A
(AH) est la hauteur de [BC]
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
La droite (IJ) coupe (AH) en K

Question :
1. Montrer que l'aire du quadrilatère AJHI est égale à l moitié de l'aire du triangle ABC.

2. Démontrer que les points A, H, I, J appartiennent à un meme cercle de centre O à definir (je sais qu'on defini O par les mediatrices  de IJ et AH mais comment demontrer la suite??)

3. On appelle M le milieu de [BC]. Montrer que la droite (AO)coupe [C] en M

Merci par avance de me donner au moins des pistes

*** message déplacé ***

Posté par caylus caylus

Bonsoir,

Que pensez d'une réduction (homothétie de centre A et de rapport 1/2.) ?

Posté par caylus caylus

Lire:
Que pensez-vous...

Posté par Maelys Maelys

je suis désolé mais ce n'est toujours pas clair pour moi..

merci pour votre piste de reflexion

Posté par caylus caylus


Une autre piste : un quadrilatère inscriptible

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Maelys.
Aire du triangle AIJ = AI*AJ/2 = (AB/2)*(AC/2)/2 = AB*AC/8 = (AB*AC/2)/4 = quart de l'aire du triangle ABC.
[IJ] est une droite des milieux du triangle ABC :[IJ] est parallèle à [BC] et perpendiculaire à [AH].
[IK] est donc une droite des milieux du triangle ABH : AK = HK.
Les triangles AIJ e HIJ ont une base commune [IJ] et des hauteurs égales, AK et HK. Ils ont donc la même aire.
Aire du quadrilatère AJHI = deux fois l'aire du triangle AIJ = moitié de l'aire du triangle ABC.

Le centre O du cercle circonscrit au triangle AIJ se trouve au milieu de [IJ].
(IJ) est la médiatrice de [AH], donc OA = OH et H se trouve aussi sur le cercle.

Soit N l'intersection de [AM] et de [IJ]. Il faut donc démontrer que les points O et N coïncident.
[IN] est une droite des milieux du triangle ABM : IN = BM/2.
[JN] est une droite des milieux du triangle ACM : JN = CM/2.
Or BM = CN.
Donc IN = JN et N est au milieu de [IJ] et coïncide avec O.