équation de parties entières

Posté par czb czb

Bonsoir à tous

Je galère un peu à résoudre l'équation de parties entières suivantes, à résoudre sur R bien sûr:
E(2x-1)=E(x-4)

J'ai du mal à trouver le point de départ du raisonnement à adopter, c'est pour cela que j'aimerais avoir un petit coup de pouce pour commencer, j'pense que ça suffira

Merci d'avance

Czb

Posté par idrissi_Med idrissi_Med

Pensez à la résoudre graphiquement ...

Posté par czb czb

Oui j'y ai pensé : pour obtenir l'égalité, les réels 2x-1 et x-4 doivent appartenir à un même intervalle d'amplitude 1. Seulement je ne vois pas comment avancer ensuite...:s

Posté par kybjm kybjm

On pose f(x) = E(2x - 1) - E(x - 4)

"le point de départ du raisonnement" est de  "faire sauter E "

E(x-4) a un expression simple quand x est entre 2 entiers qui se suivent et E(2x-1) quand x est entre 2 multiples successifs de 1/2 .

Soit donc p .

.Si p x < p + 1/2 on a 2p - 1 2x - 1 < 2p et p - 4 x - 4 < p- 3 donx f(x) = 2p - 1- (p - 4)= p + 3.
f(x) est donc nul si p = -3 donc si x [-3 , -5/2[

.Si p + 1/2 x < p + 1 on a E(2x - 1) = 2p et E(x - 4) = p - 4 donc f(x) = p + 4 et f(x) = 0 si p = -4 donc si x [-7/2 , -3[
On a donc f^-1(0) = [-7/2 , -5/2[

Posté par czb czb

Je comprends votre raisonnement c'est bien trouvé ^^

Il y a juste une chose qui me chiffonne, c'est quand vous dites "E(x-4) a un expression simple quand x est entre 2 entiers qui se suivent et E(2x-1) quand x est entre 2 multiples successifs de 1/2" je ne vois pas trop pourquoi...

Posté par czb czb

s'il vous plait il faudrait juste m'expliquer ce petit détail

Posté par kybjm kybjm

Reviens à la définition de E(.)

Soit x . Posons n = E(2x - 1)
Tu as donc : n 2x - 1 < n + 1 donc  (n + 1)/2 x < (n + 2)/2 . Autre ment dit E(2x + 1) est constante sur [(n + 1)/2 , (n + 2)/2[ où elle vaut n.

Si tu avais E(px + q) ce sonr les k/p (k entier) qui interviendraient

Posté par czb czb

Certes mais ce que je ne comprends pas c'est comment vous pensez à choisir p tel que dans un cas x soit compris entre p et p+1/2 et dans l'autre x est compris entre p+1/2 et p+1...

Si p=E(x), alors px<p+1, donc comment justifiez-vous la disjonction de cas que vous effectuez en divisant l'intervalle en deux ? C'est ça que je ne comprends pas...pourquoi il y a-t-il deux cas?

Posté par kybjm kybjm


Pour faire sauter E il me faut une partition de par des intervalles  dont les extremités sont dans (1/2).

{ J_k = [k/2 , (k + 1)/2[  | k } est celle qui me convient .

Si k et t J_k que vaut E(t) ? La formule dépend de la parité de k  si k est pair c'est k/2 et sinon c'est (k - 1)/2