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Le topic des contre-exemples

   
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exercicesLe topic des contre-exemples

#msg2760354 Posté le 09-12-09 à 15:50
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour

Je propose à chacun dans ce topic de donner un exemple ou un contre-exemple sur un résultat mathématiques intéressant/surprenant. Et si beaucoup participent pourquoi pas ensuite les répertorier dans une fiche ?

Un exemple : il existe des fonctions continues, nulle part dérivable !

ex : les fonctions de Weirstrass 3$ f(x)=\Bigsum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x) avec 0<a<1 et ab<1+\frac{3}{2}\pi.



On pourra aussi donner des contre-exemples en dimension infinie, pleins de choses comme ça.

Qu'en pensez-vous ?

re : Le topic des contre-exemples#msg2760403 Posté le 09-12-09 à 15:58
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

C'est une idée! J'espère que le topic ne deviendra pas un grand ramassis illisible, mais on peut toujours essayer!

Ma contribution:

Citation :
Le polynôme P(X)=X^4+1 est réductible dans {\bb{Z}}/p{\bb{Z}}[X] pour tout nombre premier p, mais irréductible dans {\bb{Z}}[X].
re : Le topic des contre-exemples#msg2760468 Posté le 09-12-09 à 16:13
Posté par Profilinfophile infophile

Je propose que dès qu'un membre poste un message dans ce topic, celui-ci doit être accompagné d'un exemple ou contre-exemple sus-cités.

Cela évitera d'avoir un topic "gruyère".

Citation :
Il existe des applications continues, bijectives, dont la réciproque n'est pas continue !

exemple : Je note 3$ C le cercle unité de 3$ \bb C.

L'application 3$ t\to \exp(it) de 3$ [0,2\pi[\to C.


A vos claviers !
re : Le topic des contre-exemples#msg2760875 Posté le 09-12-09 à 17:45
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Bonjour.

Citation :
Le théorème des accroissements finis (ou de Rolle) n'est pas valable pour les fonctions à valeurs vectorielles, seule l'inégalité est valable.

L'application f \,:\, t \to (\cos t, \sin t) de [0,2 \pi] dans \mathbb{R}^2 est dérivable, vérifie f(2\pi) = f(0), et pourtant f'(t) \neq 0 \forall t \in ]0,2\pi[

Dans le plan, on est pas obligé de marquer une pause pour revenir sur ses pas !
re : Le topic des contre-exemples#msg2761826 Posté le 09-12-09 à 22:28
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Deux contre-exemples sur les evns de dimension infinie.

Citation :
La boule unité de C([0,1], \mathbb{R}) muni de la norme de la convergence uniforme n'est pas compacte.(cf Théorème de Riesz)

La suite x \to x^n n'a aucune valeur d'adhérence.


Citation :
L'espace C([0,1], \mathbb{R}) muni de la norme ||f||_p = \left(\Bigint_0^1|f(t)|^p dt\right)^{\frac 1 p}, pour 1 \le p < + \infty n'est pas complet.

En effet, si on pose g(t) = \left{-1 \; \rm{si} \; t \le -1 \\ \; t \; \rm{si} \; -1 \le t \le 1 \\ +1 \; \rm{si} \; t \ge 1
la suite (f_n) de C([0,1], \mathbb{R}) définie par f_n(t) = g(n(t - \frac{1}{2})) est de Cauchy, mais n'est pas convergente.
(alors que les espaces de Lebesgue sont complets)


C'est relativement classique, j'essayerai de trouver des trucs plus exotiques.
re : Le topic des contre-exemples#msg2763040 Posté le 10-12-09 à 21:34
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

Bonjour Infophile.
Ton tracé ressemble à une fractale.
Une fonction représentée par une fractale serait telle partout indérivable ? La réciproque serait-elle vraie ?
re : Le topic des contre-exemples#msg2763268 Posté le 10-12-09 à 23:40
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Hey!

Il existe des fonctions R->R discontinues en tout point dont l'image de tout intervalle est encore un intervalle. (En clair, la propriété des valeurs intermédiaires ne caractérise pas du tout les fonctions continues).
De plus, toutes fonctions réelles s'écrit comme la somme de deux telles fonctions.

re : Le topic des contre-exemples#msg2763467 Posté le 11-12-09 à 11:56
Posté par Profildpi dpi

J'ai une question à la limite de la géographie,de la logique et des mathématiques (fractales):
QUELLE EST LA VERITABLE LONGUEUR DE COTES FRANCAISES
(marge d'erreur généreuse de 10 %)
re : Le topic des contre-exemples#msg2763489 Posté le 11-12-09 à 12:29
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Salut !

On peut construire une fonction définie sur [0,1], croissante, continue en tout point irrationnel, et discontinue ailleurs. (sur les rationnels)
En fait, on peut choisir les points de discontinuité comme on veut, du moment qu'ils sont en quantité dénombrable.

Pour répondre à dpi, je dirai volontiers que la longueur est infinie. (rien qu'une petite partie des côtes bretonnes suffit)
re : Le topic des contre-exemples#msg2804517 Posté le 03-01-10 à 12:38
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour

En dimension infinie on n'a en général pas 3$ E=F^{\perp}\bigoplus F ni 3$ (F^{\perp})^{\perp}=F

Citation :
Exemple : 3$ E=\mathbb{R}[X] et 3$ F=\{P\in \mathbb{R}[X], P(0)=0\}. On prend comme produit scalaire 3$ (P|Q)=\Bigint_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt et on montre alors que 3$ F^{\perp}=\{0\}
re : Le topic des contre-exemples#msg2804743 Posté le 03-01-10 à 13:33
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Y en a quelques uns là : (désolé de faire la pub d'un autre forum ^^)
re : Le topic des contre-exemples#msg2808439 Posté le 04-01-10 à 17:18
Posté par Profilmilton milton

salut
Citation :
il existe une fonction continue sur   ,qui sur tout segment se prend aumoins une fois une valeur negative,postive et la valeur nulle
re : Le topic des contre-exemples#msg2808580 Posté le 04-01-10 à 18:27
Posté par Profilinfophile infophile

Ha! milton

Ca me parait suspect ton histoire, si on prend un point a où f(a)>0 par exemple, alors par continuité il existe un voisinage du point a sur lequel f reste strictement positive... il suffit de prendre un segment inclus dans celui-ci.
aire d'un losange#msg2809053 Posté le 04-01-10 à 20:25
Posté par Profilgardiano gardiano

pouvez vous m'aidez a résoudre un probleme je suis en 4 eme .
re : Le topic des contre-exemples#msg2810237 Posté le 05-01-10 à 16:47
Posté par Profilmilton milton

salut info
si ca existe. je l'ai trouvé  en lisant un  cours sur la H-K integration ( sans le verifier bien sur )
re : Le topic des contre-exemples#msg2810485 Posté le 05-01-10 à 18:30
Posté par Profilrezoons rezoons

Bonjour ,
N'étant qu'un simple terminale S j'ai un peu de mal à comprendre tout ce que vous postez mais étant un fan de math je pense connaitre un résultat mathématique surprenant.
C'est samuel monnier qui a découvert un exemple ou en faisant simultanément plusieurs paris qui individuellement sont favorables on se retrouve dans un situation de paris cumulés défavorables.
Cela s'apelle le paradoxe de monnier pour ceux que ca intéresse.
re : Le topic des contre-exemples#msg2810706 Posté le 05-01-10 à 19:30
Posté par Profilinfophile infophile

milton > à mon avis il y avait des hypothèses supplémentaires sinon ça ne fonctionne pas (que penses-tu de mon post de 18:27 ?)

Tu as un lien vers ce cours ?

re : Le topic des contre-exemples#msg2810968 Posté le 05-01-10 à 20:48
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pour la raison que Kéké a cité, une telle fonction n'a aucune chance d'exister...
Peut-être n'est que continue que lambda-presque partout ? Auquel cas, c'est possible mais c'est également totalement triviale donc j'pense pas que ça soit ça...
J'aimerai bien un lien également vers ledit cours...

re : Le topic des contre-exemples#msg2810981 Posté le 05-01-10 à 20:52
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ah quoique... non, c'est pas si triviale que ça mais c'est vrai quand même.

re : Le topic des contre-exemples#msg2811441 Posté le 06-01-10 à 02:19
Posté par Profilmilton milton

bon
je vous envois le lien.j'ai eu un probleme avec mon pc donc je ne peut pas le commenter avec vous ;mais si vous avez un moyen de l'afficher sans que ce la ne soit en pdf ,je pourai dans ce cas
en voici une autre:
pour tout ensemble donné ,il existe un element de l'ensemble  different de tous les elements de l'ensemble.  
re : Le topic des contre-exemples#msg2811442 Posté le 06-01-10 à 02:21
Posté par Profilmilton milton

ha j'oubliais; http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/henstock.pdf
re : Le topic des contre-exemples#msg2811445 Posté le 06-01-10 à 02:32
Posté par Profilminkus minkus Posteur d'énigmes

Bonjour,

Sympa cette idee. Ma (pietre) contribution :

Citation :
Il existe des carres greco-latins de tout ordre sauf 2 et 6.


minkus
re : Le topic des contre-exemples#msg2811737 Posté le 06-01-10 à 13:54
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

pour tout ensemble donné ,il existe un element de l'ensemble  different de tous les elements de l'ensemble >> Euh oui, mais c'est pas un résultat ça... C'est l'axiome de fondation, on décide qu'il est vrai. ^^

re : Le topic des contre-exemples#msg2811857 Posté le 06-01-10 à 14:54
Posté par Profilinfophile infophile



Citation :
Théorème de Erdös-Kaplansky : en dimension infinie E n'est jamais isomorphe à son dual E*.


Salut vieux ça va à Ulm ? dis tu t'y connais en homotopie ? ^^
re : Le topic des contre-exemples#msg2811927 Posté le 06-01-10 à 15:13
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

kéké >> J'suis sceptique là. C'est quoi que t'appelles dual? L'espace des formes linéaires ou l'espace des formes linéaires continues? Si c'est le deuxième, il manque des hypothèses à ton théorème parce que THE théorème sur les espaces de Hilbert dit qu'ils sont isomorphes (et même isométriques) à leur duaux!

En homotopie, ça dépend de ce que tu veux. Je peux bien t'aider comme ne pas du tout comprendre ce dont tu parles...
re : Le topic des contre-exemples#msg2812013 Posté le 06-01-10 à 15:36
Posté par Profilinfophile infophile

Pour moi le dual c'est l'espace des formes linéaires.

Pour l'homotopie va faire un tour dans le forum supérieur tu vas comprendre
re : Le topic des contre-exemples#msg2851609 Posté le 29-01-10 à 17:00
Posté par Profiljeanseb jeanseb

Bonjour

Je ne poste pas pour les cadors, mais pour "celui que j'étais avant de me remettre aux maths".

Je croyais que toutes les applications linéaires étaient continues.

Contre-exemple:

E = IR[X] muni de la norme ||P|| = sup|ak|

et f: P P'

La suite de polynomes Pn(x) = Xn/n  tend vers le polynôme nul, mais la suite des images reste imperturbablement de norme égale à 1.

D'où la non-continuité de f.

Ca m'a beaucoup impressionné à l'époque. Et ça m'a fait toucher du doigt la dimension infinie (ça ne marche pas sur IRn[X]).
re : Le topic des contre-exemples#msg2852072 Posté le 29-01-10 à 21:37
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour jeanseb

Un autre exemple avec 3$ E=C^{\circ}([0,1],\mathbb{R}) et 3$ \delta:f\to f(0).

3$ \delta est continue relativement à 3$ ||.||_{\infty} mais pas relativement à 3$ ||.||_{1}.

Par exemple la suite de fonctions suivante :



On a 3$ f_n(0)=1 et 3$ ||f_n||_{1}=\frac{1}{2n} (l'aire du triangle), donc 3$ \frac{|f_n(0)|}{||f_n||_1}=2n\to +\infty.

Ceci met en défaut la continuité de 3$ \delta, car on a une caractérisation bien sympa de la continuité :

3$ g\in L(E,E') continue si et seulement si 3$ \exist k\ge 0, ||g(x)||'\le k||x||.

En revanche en dimension finie toutes les applications linéaires sont continues.

re : Le topic des contre-exemples#msg2852826 Posté le 30-01-10 à 14:36
Posté par Profilinfophile infophile

Dans un espace de Banach toute série absolument convergente est convergente. Donnons un contre exemple si l'espace vectoriel normé n'est pas complet.

Citation :
Le sous-espace de 3$ L^{\infty}(\mathbb{R}) formé des fonctions à support compact n'est pas complet, et la série des fonctions 3$ f_n valant 3$ \frac{1}{2^n} sur 3$ ]n,n+1[ est AC mais ne converge pas dans ce sev.


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