Fonction définie par une intégrale

Posté par Olimpe8 Olimpe8

Bonsoir,
j'ai un petit problème sur une question:
on à la fonction f: ]-1;+[ et f(x) valant 1 si x=0 et ln(1+x)/x sinon.
Après avoir montré que cette fonction était continue sur ]-1;+[ ,qu'elle était de classe C1 sur ce même intervalle et qu'elle était décroissante et positive (toujours sur cet intervalle), on nous demande de montrer que pour tout x de l'intervalle ]-1/2;+[, l'intégrale de x à 2x f(t)dt existe.

Je ne vois pas vraiment ce qu'il faut faire pour montrer cela.


De plus, on définie la fonction F(x) comme étant cette intégrale et on nous demande de montrer qu'elle est dérivable sur ]-1/2;+[ et que F est croissante. Et là aussi j'ai du mal à savoir quelle est la méthode à adopter...

Merci d'avance à tous ceux qui pourraient m'apporter un peu d'aide.
Bonne soirée

Posté par LeHibou LeHibou

Bonsoir,

Montre que les intégrales de 0 à x et de 0 à 2x existent, déduis-en l'existence de l'intégrale de x à 2x.

De la même façon, montre que F'(x) = f(2x)-f(x), et étudie le signe de F'(x).

Posté par LeHibou LeHibou

Et en y repensant, je ne suis pas d'accord avec l'énoncé, je trouve F croissante sur ]-1/2,0[, passant par un maximum en 0, et décroissante sur ]0,+[

Posté par Olimpe8 Olimpe8

Et comment faire pour montrer que les intégrales de 0 à x et de 0 à 2x existent ??

Posté par Olimpe8 Olimpe8

Et je trouve F croissante sur ]-1/2,+[ en distinguant les différents cas possibles

Posté par LeHibou LeHibou

Les intégrales de 0 à x et de 0 à 2x existent parce que sur ]-1,+[ f est définie et continue partout sauf en 0, et f peut être prolongée par continuité en 0 car lim_x->0f(x) = 1

Pour la croissance de F, je raisonne sur le signe de F' comme suit :
F'(x) = f(2x)-f(x)      Es-tu d'acccord avec ça ?
On sait que f(x) est décroissante, donc :
x < 0, 2x < x, f(2x) > f(x), F'(x) > 0
x > 0, 2x > x, f(2x) < f(x), F'(x) < 0

De ton côté, comment raisonnes-tu pour trouver F toujours croissante ?

Posté par Olimpe8 Olimpe8

J'étudie aussi le signe de F' mais j'utilise l'expression de f et j'obtiens après toutes simplifications (si je ne me suis pas trompée!):
F'(x)=2f(2x)-f(x)
F'(x)=[ln(1+2x)-ln(1+x)]/x

x < 0, 2x < x, ln(1+2x) < ln(1+x), F'(x) > 0
x > 0, 2x > x, ln(1+2x) > ln(1+x), F'(x) > 0

Posté par Olimpe8 Olimpe8

Dans la suite, il faut que je montre que sur ]0,+[, F(x)xf(2x) et je ne trouve pas la marche à suivre...

Posté par LeHibou LeHibou

Je crois bien que tu as raison, j'avais raté le 2 devant le f(2x)...
Donc ça fait :
F'(x) = 2ln(1+2x)/(2x) - ln(1+2x)/x
= (1/x)(ln(1+2x)-ln(1+x))
Et tu as effectivement raison !
Je poste déjà ce mea culpa, et je regarde pour la suite...

Posté par LeHibou LeHibou

Pour la suite, on pourrait étudier  :
G(x) = F(x)-xf(2x)
G(0) = 0      évident
Il suffirait donc de montrer que G'(x) est > 0 pour x > 0 pour conclure à G(x) > 0
Je te laisse tenter le calcul de G', je n'ai pas le temps pour l'instant, j'y reviendrai ce soir, d'ici la tu auras certainement fini !

Posté par LeHibou LeHibou

En fait, c'est plus facile que ça. Sachant que f est positive et décroissante, pour x > O f est maximum en x et minimum en 2x sur l'intervalle [x,2x]. Tu peux donc encadrer F par un théorème classique de minoration/majoration d'intégrale :
f(2x)(2x-x) F(x) f(x)(2x-x)
xf(2x) F(x) xf(x)
Et la partie gauche de l'inégalité est bien ce que tu cherches.

Posté par cloukette cloukette

Bonjour,

Je m'excuse de remettre à l'ordre du jour cet exercice, mais il s'avère que j'ai exactement le même à rendre, et malgré les explications fournies ici, je ne comprends pas vraiment la démarche à suivre.
Tout d'abord, pour prouver l'existence de l'intégrale, je ne comprends pas en quoi dire que "Les intégrales de 0 à x et de 0 à 2x existent parce que sur ]-1,+[ f est définie et continue partout sauf en 0, et f peut être prolongée par continuité en 0 car limx->0f(x) = 1" justifie quoi que ce soit, et en ce qui concerne la croissance de F, je ne comprends pas comment vous en arrivez à la conclusion que : "F'(x) = 2f(2x)-f(x)"...

Je suis désolée, j'espère que vous pourrez m'éclairer !
Merci par avance

A bientôt

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

f est un quotient de deux fonctions continues partout où elles sont définies :
ln(1+x) est définie et continue sur x > -1, donc ]-1,+oo[
x est défini et continu sur
Donc le quotient est défini et continu partout où les fonctions sont définies et le dénominateur non nul, donc sur ]-1;0[]0;+oo[
Par ailleurs, on a lim _x->0f(x) = 1, et par définition f(0) = 1
On peut donc considérer f comme continue en 0
finalement, on, peut considérer f comme définie et continue sur  ]-1;0[]0;+oo[{0}, donc sur ]-1,+oo[
Quant à la formule de dérivation, elle vient de la formule très générale :
F(x) = _a(x)^b(x) f(t) dt
F'(x) = b'(x)f(b(x)) - a'(x)f(a(x))
avec ici a(x) = x, a'(x) = 1, b(x) = 2x, b'(x) = 2

Posté par cloukette cloukette

Bonjour,

Merci pour votre réponse rapide

Dans les questions précédentes de l'exercice, on doit effectivement montrer que f est continue sur -1 exclu, + infini.
Ce que je ne comprends pas, c'est le rapport entre la continuité de la fonction f sur cet intervalle, et la question "montrer que l'intégrale de f entre x et 2x existe, pour tout x appartenant à -1/2 exclu, + l'infini.
Pourquoi -1/2 est t'il exclu ?
Et pourquoi l'intégrale allant de 0 à x et l'intégrale de 0 à 2x nous aide à conclure ?

Merci pour la formule de la dérivée, ce n'était pas du tout clair dans mon cours

Merci par avance !

Posté par cloukette cloukette

De plus, dans plusieurs cours que j'ai trouvé sur internet, j'ai cru comprendre que montrer qu'une intégrale existe, c'est montrer qu'elle est convergente.
Hors dans cet exercice, je n'arrive pas à intégrer la fonction...

Posté par LeHibou LeHibou

-1/2 est exclu, car en -1/2 la borne 2x vaut -1, et en -1 la fonction f(x) n'est pas définie à cause du numérateur ln(1+x) qui vaudrait ln(0) = -oo

La formule de Chasles pour les intégrales permet d'écrire, si l'intégrande est définie en 0, a et b :
_a^b = ₀^b - ₀^a
ici a = x et b = 2x

Enfin, tu dis :

Je pense que tu mélanges existence (la continuité est une condition suffisante avec des bornes finies) et passage à la limite pour des bornes infinies

Enfin ce sont des théorèmes d'existence, tu n'as pas besoin d'intégrer explicitement la fonction...

Posté par cloukette cloukette

Effectivement, je confondais bien les 2.

Sinon, dans mon cours, j'ai quelque chose de bien plus complexe pour exprimer la dérivée de F...
Je ne vais pas tout réécrire, car je ne sais pas encore très bien manier le langage latex, et du coup ca ne donnerait pas grand chose... .
En tout cas, la conclusion du cours ne donne pas la même formule simple et rapide pour calculer F'. Du coup, en appliquant celle du cours et F'= b'(x)f(b(x)) - a'(x)f(a(x)), je ne trouve pas la même chose...

Surtout que si a = x, donc a'= 1, je ne comprends pas pourquoi vous trouvez que a'f(a) = ln(1+2x)/x. Ce devrait être ln(1+x)/x non ?

Merci

Posté par LeHibou LeHibou

Tu as raison, d'ailleurs j'avais corrigé à la ligne suivante, c'est :
F'(x) = 2ln(1+2x)/(2x) - ln(1+x)/x
= (1/x)(ln(1+2x)-ln(1+x))

Que dit ton cours ? Essaye de l'écrire sans laTex, je comprendrai...

Pour la dérivation d'une intégrale à bornes variables, regarde ici, section 19.4 :

Posté par cloukette cloukette

Merci pour le lien, je vais m'y pencher de suite

Ce que dit mon cours donc, que j'ai sûrement mal compris (car au final, je viens de me rendre compte que je trouve le même résultat qu'avec la formule plus rapide, mais je mets beaucoup plus de temps) :

- Tout d'abord, c'est une "méthode" pour calculer l'intégrale F (x) allant d'une fonction u à une fonction v, de f(t)dt.

- On pose G(x) = intégrale allant de a (appartenant à I, intervalle sur lequel la fonction f est continue) à x, de f(t)dt.
f(t) est continue sur I et pour tout x appartenant à I, G'(x) = f(t).
Rien qu'à partir d'ici, je ne comprends pas pourquoi l'on peut dire cela.

- Puis, par la relation de Chasles, on a :
F(x) = (intégrale allant de u à a de f(t)dt) + (intégrale allant de a à v de f(t)dt) = (- intégrale allant de a à u de f(t)dt) + (intégrale allant de a à v de f(t)dt) = - G(u) + G(v)

- u et v sont C1 sur I sont en utilisant les propriétés de sommes et de composition de fonctions C1, on obtient que F est C1 sur I, et pour tout x appartenant à I :
F'(x) = -1 x (u') G'(u) + (v') G'(v).
Il suffit ensuite de remplacer dans le G' qu'on a trouvé (par magie) précédemment, et voilà.

J'espère que c'est compréhensible !

Par ailleurs, je dois ensuite également montrer que F(x) est supérieure ou égal à xf(2x), et je ne comprends pas vraiment la démarche que vous avez suivi.

Merci

Posté par cloukette cloukette

PS : je viens de comprendre votre précédente explication pour le maximum et le minimum. Cependant, pourquoi multiplier par (2x-x) et pas directement par x pour obtenir l'inégalité demandée, dans la mesure où x est compris entre 0 exclu ; + l'infini ?

Posté par LeHibou LeHibou

La première question est du cours, c'est la relation entre une primitive, une intégrale et une dérivée...

Pour la seconde, la formule générale de l'encadrement est :
(b-a)Min(f;[a,b]) _a^bf(t)dt (b-a)Max(f;[a,b])
Ici a = x et b = 2x, d'où l'apparition du (2x-x)

Posté par cloukette cloukette

Oui c'est très probablement du cours, mais mon cours n'est pas vraiment clair, et il n'y a aucune formule explicitée clairement..
De fait, on aura toujours, si F(x)= intégrale de a à x de f(t)dt, avec appartenant à l'ensemble sur lequel f est continue nommé I, F'=f et F C1 sur I.
Donc il faudra toujours procéder de cette façon pour déterminer F' si on a F(x) = intégrale de u à v de f(t)dt, on ne peut pas utiliser directement F'(x) = b'(x)f(b(x)) - a'(x)f(a(x)) ?

Merci pour la formule générale d'encadrement.

Dernière question, comment faire pour déterminer :
- qu'une intégrale bornée est convergente ?
- qu'une intégrale allant de n à + l'infini est convergente ?

Car dans le 1er cas, il s'agit de l'intégrale allant de -1 à -1/2 de ln(1+x) / x , et j'ai l'impression qu'il faut calculer la limite de f(x) en -1 (car f est continue en 1/2), et obtenir une limite finie pour pouvoir affirmer que l'intégrale est convergente... Mais pour la limite de ln(1+x) / x quand x tend vers -1, je trouve + l'infini, donc pas une limite finie...

Ensuite, l'autre intégrale que je dois calculer s'étend de n appartenant 1 inclu ; + l'infini, à + l'infini, de (exponentielle de 1/x) / x^2.
Egalement, je trouve que la limite de f(x) quand x tend vers + l'infini est 0, mais mon cours dit que je ne peux pas conclure ainsi de la nature de l'intégrale..

Merci par avance

Posté par LeHibou LeHibou

La formule F'(x) = b'(x)f(b(x)) - a'(x)f(a(x)) est le cas général.
Avec a(x) = a constante, donc a'(x) = 0, et b(x) = x, donc b'(x) = 1, tu retrouves F'(x) = f(x)

Une intégrale bornée sur un domaine fini est convergente.
Pour le passage à un domaine infini, il faut faire un passage à l'infini sur  la borne

Pour ln(1+x)/x au voisinage de -1, il faut trouver un équivalent de l'intégrande.
Ici, le x s'approxime par -1, donc ln(1+x)/x s'approxime par -ln(1+x)
Une primitive de ln(1+x) est (1+x)ln(1+x)-(1+x), et la limite en -1 est 0   (c'est du cours)
Donc l'intégrale est convergente en -1.