barycentres

Posté par etoiledoree etoiledoree

Bonjour!
Je dois faire un exercice sur les barycentres mais je n'y arrive pas. Il s'agit d'un QCM, donc je sais déja quelle proposition est juste mais je ne vois pas comment le démontrer...
Soit A B C trois points distincts non alignés du plan et x un réel. On définie les points M par  
AM = 1/2 AB + (1-x) AC  et N par (1-x) AB + 1/2 AC

a) FAUX: Pour x=3, M est le barycentre de (B, 1/2) et (C,-2)
b) VRAI: Pour x = 1/2 il exixte deux réels b et c tels que M soit le barycentre de (B,b) et (C,c).
C'est le seul que je pense avopir trouvé correctement: si on remplace x par 1/2, on a AM= 1/2 AB+ 1/2 AC. Donc M est le barycentre de (B,1/2) et (C,1/2) car (b+c)AM= 1AM
c) FAUX: Pour toute valeur de x, le point M appartient à la droite (BC)?
Pour cette question je pense qu'il faut trouver un x tel que N ne soit pas la barycnetre de B et C. Et on pourra dire qu'ainsi N (BC). C'ets juste?
d) FAUX: Il existe une valeur de x pour laquelle BNCM est un parallélogramme.

Merci de m' aider !                    

Posté par pgeod pgeod


S'agit-il pour nous d'imaginer les questions du QCM
correspondant aux réponses que tu donnes ?

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Posté par etoiledoree etoiledoree

mais non!!
Les réponses aux questions du QCM je les ai, d ailleurs je les ai mises devant chaque question!! Ce que je n arrive pas à faire c'est comprendre pourquoi c' est vrai à telle question et faux à telle autre.

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Posté par pgeod pgeod


a) Pour x=3, M est le barycentre de (B, 1/2) et (C,-2)

AM = 1/2 AB + (1-x) AC  et x = 3
=> AM = 1/2 AB + (1-3) AC
<=> AM = 1/2 AB - 2 AC
----- la somme des coeff de B et de C est différent du coeff de M
1/2 - 3 1
donc M n'est pas le barycentre de (B, 1/2) et (C,-2)

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Posté par etoiledoree etoiledoree

Ah ouais je viens de comprendre!!
En fait c'est le même raisonnement que pour le b)...
Merci beaucoup!
Est ce que vous pouvez toujours m'aider pour résoudre c) et d) ?
Ce serait super sympa!

Posté par pgeod pgeod


c/ Pour toute valeur de x, le point M appartient à la droite (BC)?

AM = 1/2 AB + (1-x) AC  

si x = 1 => AM = 1/2 AB => M appartient à (AB)
et comme M n'est pas en B, alors M (BC)

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Posté par etoiledoree etoiledoree

Oups je me suis trompée dans l'énoncé... Il ne s'agit pas du point M mais du point N...
c/ Pour toute valeur de x, le point N appartient à la droite (BC)?

Donc avec AN=(1-x)AB+(1/2)AC
si x=1 alors AN=(1/2)AC
Donc N appartient à (AC), c'est même son milieu. Mais comment prouver qu'il n'appartient pas à (BC)

Posté par pgeod pgeod

car N n'est pas en C
et que A B C sont trois points distincts non alignés du plan .

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Posté par etoiledoree etoiledoree

Ouais...
Mais même si N n'est pas en C , A B C et N peuvent quand même être alignés, non?

Posté par pgeod pgeod


??

par hypothèses de l'énoncé : A B C sont trois points distincts non alignés du plan

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Posté par etoiledoree etoiledoree

Je voulais dire que même si N et C sont differents, comment prouver que N n appartient pas à (BC)?
Mais bon c est pas grave...
Tu peux m expliquer le d) s il te plait?

Posté par pgeod pgeod


c/ Pour toute valeur de x, le point N appartient à la droite (BC)?

N appartient à (AC),
il ne peut appartenir à (BC) que si N = C
or N milieu de [AC] car AN=(1/2)AC
donc N C
et donc N (BC)

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Posté par etoiledoree etoiledoree

C' est super je viens de comprendre! Merci.
J' ai encore besoin d'un peu d' aide pour le d)... s'il vous plait?

Posté par pgeod pgeod


Soit A B C trois points distincts non alignés du plan et x un réel.
On définit les points
M par AM = 1/2 AB + (1-x) AC  et
N par AN = (1-x) AB + 1/2 AC

d) Il existe une valeur de x pour laquelle BNCM est un parallélogramme ?

BNCM est un parallélogramme
<=> BN = MC
<=> BA + AN = AC - AM
<=> -AB + (1-x) AB + 1/2 AC =  AC - 1/2 AB - (1-x) AC  
<=> .............. continue.

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Posté par etoiledoree etoiledoree

-AB + (1-x) AB + 1/2 AC =  AC - 1/2 AB - (1-x) AC  
-AB + AB - ABx + 1/2AC = AC -1/2AB - AC + ACx
- ABx + 1/2AC = -1/2AB + ACx
- ABx - ACx = -1/2AB - 1/2AC
-x(AB+AC) = -1/2(AB+AC)
-x = -1/2
x = 1/2
Donc il existe une valeur de x pour que BNCM soit un parallélogramme.
Mais le problème c'est que c'est censé être FAUX...

Posté par pgeod pgeod


tout ceci est juste. BN = MC <=> x = 1/2

pour autant la conclusion est fausse, car encore faut-il que
les points, B, N, M et C soient distincts.

remplace x par 1/2 dans :

AM = 1/2 AB + (1-x) AC
AN = (1-x) AB + 1/2 AC

Que remarques-tu ?

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Posté par etoiledoree etoiledoree

Si je remplace x par 1/2, j obtiens:
AM= 1/2AB + 1/2AC
AN= 1/2AB + 1/2AC
Donc AM=AN

c'est cela?

Posté par pgeod pgeod

c'est cela.

Donc AM=AN
donc M = N

et donc  BNCM n'est pas un parallélogramme

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Posté par etoiledoree etoiledoree

Super !
Fallait y penser!
Bah merci beaucoup!
Bonne année!

Posté par etoiledoree etoiledoree

Je viens de penser que si M=N, le parallélogramme BNCM ne peut il pas etre aplati?

Posté par pgeod pgeod


oui.

car AM = AN = 1/2 (AB + AC) => M et N milieu de [BC] => B, C, M et N alignés.

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Posté par etoiledoree etoiledoree

C est peut etre bete, mais alors il faut repondre VRAI et non pas faux??

Posté par pgeod pgeod


Je répondrais FAUX malgré tout.
car un parallélogramme applati c'est quand même une bizarerie,
d'autant qu'il ne possède pas toutes les propriétés du parallélogramme :
En l'espèce, les diagonales ne sont pas de même longueur.

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