écriture analytique

Posté par lisa91 lisa91

bonjours à tous j'ai un dm de math et je bloque a quelque question

voici l'énoncé:
Ecriture analytique d'une sym´etrie centrale
On consid`ere la symetrie centrale de centre I(2; 3) et on note M′(x′; y′) l'image d'un point M(x; y) par la symetrie centrale de centre I.
1. Faire une figure
2. Ecrire la relation vectorielle reliant les points M et M′.
3. Traduire cette relation en terme de coordonn´ees et exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.

jai fais la figure , puis pour la relation je ne sais pas si c'est : MI=M'I ou MM'=2MI ??

Ecriture analytique d'une homothetie
On consid`ere l'homothetie de centre I(1; 2) et de rapport k = 3 et on note M′(x′; y′) l'image d'un point M(x; y) par l'homoth´etie de centre I et de rapport k.
1. Faire une figure
2. Ecrire la relation vectorielle reliant les points M et M′.
3. Traduire cette relation en terme de coordonn´ees et exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.

Posté par pgeod pgeod


Ecriture analytique d'une sym´etrie centrale

2. Ecrire la relation vectorielle reliant les points M et M′.

I est milieu de [MM'] (vu en 5°)

...

Posté par lisa91 lisa91

la relation vectorielle est ; MI=IM'

Posté par geo3 geo3

Bpnjour
1)I est milieu donc MI = IMa => OI - OM = OMa - OI  => OMa = 2OI - OM => xa = 2.2 - x = 4-x et ya = 2.3 - y = 6 - y
2)
IMa = 3.IM => OMa - OI = 3.OM - 3.OI  => OMa = 3OM - 2OI  => xa = 3x - 2 et ya = 3y - 4
A+

Posté par lisa91 lisa91

Ecriture analytique d'une translation
On consid`ere la translation de vecteur −!u ( 2;3 ) et on note M′(x′; y′) l'image d'un point M(x; y) par la
translation de vecteur −!u .
1. Faire une figure
2. Ecrire la relation vectorielle reliant les points M et M′.
3. Traduire cette relation en terme de coordonn´ees et exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.


2) vect MM'=vect U
3)x'-x=xU
  x'-x=2
  x'= 2+x




y'-y=yU
y'-y=3
y'=3+y

Posté par pgeod pgeod


c'est bon pour la translation.

...

Posté par lisa91 lisa91

ok merci beaucoup

Posté par lisa91 lisa91

Etude d'exemples
Caract´eriser les transformations suivantes dont les ´ecritures analytiques sont donnees ci-dessous :
 x′ = x − 1        y′ = y + 3
 x′ = 4 − x        y′ = −6 − y
 x′ = 5x − 15      y′ = 5y + 8
 x′ = −y           y′ = x
 x′ = −y           y′ = −x



 x′ = x − 1        y′ = y + 3
c'est la translation de vecteur U ( -1;3 )

 x′ = 4 − x        y′ = −6 − y
c'est la symétrie de centre I (2 ;-3)

 x′ = 5x − 15      y′ = 5y + 8
cest une homothétie de centre I( -7.5 ;4 ) et de rapport 5.

est ce qu' il faut fair comme ça pour caractériser les transformations en écritures analytiques

Posté par pgeod pgeod


ok pour la translation
ok pour la symétrie
faux pour l'homothétie --> le centre n'est pas bon.
(x' - 15/4) = 5 (x - 15/4)
(y' + 8/4) = 5 (y + 8/4)

...

Posté par lisa91 lisa91

euh, je ne comprends pas pourquoi dans : ( x' - 15/4) = 5 (x - 15/4) et (y' + 8/4) = 5 (y + 8/4) il ya divisé par 4 ?

Posté par pgeod pgeod


( x' - 15/4) = 5 (x - 15/4)
<=> x' = 5x - 75/4 + 15/4
<=> x' = 5x - (75/4 - 15/4)
<=> x' = 5x - 60/4
<=> x' = 5x - 15

idem pour y'

...

Posté par lisa91 lisa91

(y' + 8/4) = 5 (y + 8/4)
y' =5y +40/4 -8/4
y' = 5y +(40/4 -8/4)
y' = 5y +32/4
y' = 5y +8


donc  x′ = 5x − 15      y′ = 5y + 8
cest une homothétie de centre I =4  et de rapport 5.

Posté par pgeod pgeod


donc  x′ = 5x − 15      y′ = 5y + 8
c'est une homothétie de centre I (15/4; -8/4)  et de rapport 5.

...

Posté par lisa91 lisa91

j'ai une question ,  comment on sais qu'il faut diviser par 4 au début des calcules?

Posté par pgeod pgeod


A partir de :  x′ = 5x − 15      y′ = 5y + 8
On détecte tout de suite, qu'il s'agit d'une homothétie de
rapport 5 qui est le coeff commun à x et à y.

Mais on ne connait pas le centre de manière immédiate.
Pour le déterminer, on cherche le point invariant par l'homothétie.
On résout donc :

x = 5x − 15      y = 5y + 8
x = 15/4          y = -8/4

Ensuite on peut écrire  x′ = 5x − 15      y′ = 5y + 8
sous la forme : x′ - x = 5(x − x)      y′ - y = 5 (y - y)

...

Posté par lisa91 lisa91

ouii d'accord jai compris =)

par contre pour les 2 derniers ;
 x′ = −y           y′ = x
 x′ = −y           y′ = −x
je ne vois pas comment faire

Posté par pgeod pgeod

Je dirais :

rotation d'angle /2 et de centre O
symétrie orthogonale d'axe y = -x

...

Posté par lisa91 lisa91

oui merci , mais je ne voit pas du tout comment trouver ça

Posté par pgeod pgeod

pour le conjecturer, il suffit de faire une croquis.

Pour le démontrer, c'est pas trop compliqué avec les complexes.

...

Posté par lisa91 lisa91

d'accord , merci beaucoup pour tout le reste , et bonne soirée =)

A bientot.