demonstration par recurrence

Posté par siissou siissou

bonjour tout le monde
J'ai beaucoup de mal avec les demonstrations par recurrence et j'ai un dm a faire c'est pour cel aque je sollicite votre aide
alors voici la question :
demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n non n :
1²+2²+3²+4²+5²....+n²=(n(n+1)(2n+1))/6

Je vous remercie de votre aide

Posté par mascate mascate

bonjour!
3 étapes dans une telle démonstration:

- on vérifie que c'est vrai pour n=1
  en effet 1= (1.2.3)/6
-on suppose la formule vraie pour n-1
  cad on remplace n par n-1 dans la formule
  1²+2²+3²+.....+(n-1)²= ((n-1)n(2(n-1)+1))/6
  1²+2²+3²+.....+(n-1)²=((n-1)n(2n-1))/6

-on démontre que la formule est vraie pour n

1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 =n²
1²+2²+3²+4²+5²....+n²= (n/6) [(n-1)(2n-1)+6n]
1²+2²+3²+4²+5²....+n²= (n/6)[2n²+3n+1]
1²+2²+3²+4²+5²....+n²=(n(n+1)(2n+1))/6

Posté par siissou siissou

tout d'abord je tiens a vous remercier de votre aide

Donc il faut a chaque fois calculer si cela est vrai au premier rang puis sur n-1 et enfin sur n+1.

Mais pour la 3ème étape je ne comprend pas d'où vient 1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 =n²
le n² ??

Posté par mascate mascate

1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 =n²faute de frappe désolée!
1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 +n² j'ai remplacé 1²+2²+.....+(n-1)² par sa valeur et il reste n²

Posté par djuste djuste

Une démonstration par récurrence se fait en 3 étapes :
- la première consiste à montrer que la relation est vraie pour un n donné, très souvent n=0 ou n=1;
- la deuxième consiste à admettre que la relation est vraie au rang n, il faut alors démontrer qu'elle l'est au rang n+1
- la troisième est la conclusion qui affirme que la relation est vraie pour tout n.

Pour résumer,  si tu vérifies que la relation admise vraie au rang n l'est encore au rang n+1, tu démontres alors qu'elle le sera encore pour n+2 et ainsi de suite. Le tout est de commencer pour n=0 ou n=1 afin de montrer que c'est vraie pour n=2, puis 3, puis 4 et ainsi de suite.

Donc ici,

Pour n=1, tu t'aperçois que , donc la relation est vraie. La première étape s'achève ici.

Seconde étape : tu admets que la relation est vraie jusqu'au rang n, donc , il reste à démontrer que c'est vrai au rang . Pour  le faire, on reprend la fraction au rang supposée vraie, on lui ajoute (n+1)^2 :



On factorise par (n+1) au numérateur :


Or , donc

Donc en remplaçant par dans l'expression, tu démontres que la relation est vraie au rang .

Posté par bonobo bonobo

Excellente explication ! Merci !