PGCD spé

Posté par lilou-marmotte lilou-marmotte

Bonjour à tous, donc voilà, j'ai un souci dans la toute dernière question d'un exercice de Maths spé

Le nombre n est un entier naturel non nul.
On a: a=4n+3 et b=5n+2 , on note d=pgcd(a;b)

1. Donner la valeur de d dans ces trois cas: n=1 , n=11 , n=15

2. Calculer 5a-4b et en déduire les valeurs possibles de d

3. a) Déterminer les entiers ,naturels n et k, tels que an+3=7k

   b) Déterminer les entiers naturels  n et k' , tels que 5n+2=7k'

4) soit r le reste de la division euclidienne de n par 7.
Déduire, des question précédentes, la valeur de r pour laquelle d vaut  7.

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donc JUSQUE LA, j'ai tout fait =)
Mais la dernière question je ne sais pas comment m'y prendre:

=> Pour quelles valeurs de r a-t-on d=1?

Quelqu'un pourrait m'aider? svp =D

Posté par frenicle frenicle

Bonjour,

Tu sais que d vaut 1 ou 7 (question 2)
Pour que d vaille 7, il faut et il suffit que 4n + 3 et 5n + 2 soient tous deux divisibles par 7.
D'après la question 3, c'est le cas lorsque n est de la forme 7m + 1, c'est-à-dire lorsque r = 1.

Posté par lilou-marmotte lilou-marmotte

mais ça c'est quand d vaut 7 non?

Posté par frenicle frenicle

Ah oui, je répondais à la question précédente désolé.

Eh bien on sait que d vaut 7 si et seulement si r vaut 1.
Donc d vaut 1 pour toutes les autres valeurs possibles de r, à savoir 0, 2, 3, 4, 5, 6.

Posté par lilou-marmotte lilou-marmotte

Ha mais oui, donc n=7m ou n=7m+2 ou n=7m+3 ou n=7m+4 ou n=7m+5 ou n=7m+6 alors

Posté par frenicle frenicle

Exactement