Equation differentielle

Posté par pokyo pokyo

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice sur les equa-dif'.
Voici le sujet:
On se propose de resoudre l'equation differentielle (E1)= y'+ y = y²
1) Verifier que la fonction nulle est solution de (E1)
2) Pour une solution y de (E1) qui ne s'annule pas, poser z=1/y et montrer que l'equation (E1) devient (E2): z'=z-1
3) Resoudre (E2)
4) En deduire les solutions non nulles de (E1)

Merci d'avance !

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

1) évident : y = 0, donc y' = 0, donc (E1) est vérifiée

2) z' = -y'/y²
donc y' = -z'y²
donc y' = -z'/z²
On reporte dans (E1) :
-z'/z² + 1/z = 1/z²
z ne s'annulant pas par hypothèse, on peut tout multiplier par z² :
-z' + z = 1
z' = z - 1      (E2)

3) Résolution de (E2) dans le cours

4)on en déduit y = 1/z

Joyeux Noël !

Posté par pokyo pokyo

Merci, pour l'aide
Joyeux noël

Posté par LeHibou LeHibou

C'était un plaisir !

Posté par babacooool babacooool

Bonjour, je bloque pour la question 4, quelqu'un pourrait-il m'aider? svp
merci d'avance.

Posté par LeHibou LeHibou

Qu'as-tu trouvé comme solution pour 3) ?

Posté par babacooool babacooool

j'ai trouvé : f(x)=Cste*e^x +1

Posté par LeHibou LeHibou

C'est juste, et tu conclus pour 4) :
y(x) = 1/f(x)

Posté par babacooool babacooool

il n'y a rien de plus à écrire?!

Posté par LeHibou LeHibou

Tu dois préciser la constante dans f(x) : C.e^x+1
D'après la question 2), tu cherches les solutions qui ne s'annulent pas, ce qui impose C 0
A toi de démontrer pourquoi...

Posté par babacooool babacooool

=S
je vois pas trop

Posté par LeHibou LeHibou

e^x est toujours > 0, donc si C est 0, le terme C.e^x+1 est toujours > 0

En revanche, si C < 0, l'équation C.e^x+1 = 0 a une solution.
En effet, si x0 est une telle solution, tu as e^x0 = -1/C, et C < 0 entraîne -1/C > 0
Tu peux alors prendre les ln des deux côtés, et tu obtiens :
x0 = ln(-1/C)
et tu as donc f(x0) = 0, ce qui est exclus

Donc tu dois bien te limiter à C 0

Posté par LeHibou LeHibou

Pardon, il fallait lire "ce qui est exclu"
Désolé pour la faute d'orthographe

Posté par babacooool babacooool

ah, j'avais pas compris ce que tu me demandais, oui en effet, c'est clair! =)
MERCii =)

donc après je peux conclure?!

Posté par LeHibou LeHibou

Oui, après tu conclus :
y = 1/(C.e^x+1) avec C 0

Posté par babacooool babacooool

Merci pour tout =)
Bonne soirée.

Posté par LeHibou LeHibou

Bonne soirée à toi aussi !

Posté par Radia114 Radia114

C très bizard...
Dans la question 2, jvois pas du tout comment on peut passer de y'= -z' y²   à    y'=-z'/z² ... :/
merci davance

Posté par Yzz Yzz

Salut,
z=1/y donc y=1/z donc y²=1/z²

Posté par Radia114 Radia114

SAlut!!
aaa oui daccord, mercii

Posté par Yzz Yzz

De rien