Exercice type Bac sur un équation différentielle

Posté par Chail Chail

Bonjour, et Joyeuses Fêtes
C'est le temps de Noël mais il faut quand même bosser =( donc voilà un gros exercice que l'on nous a donné a faire pendant les vacances:

Tout d'abord, dans l'exercice : n est un entier naturel supérieur ou égal à 2
A.1 Il fallait résoudre cette équation y'-(1/n)y = 0 ([1])où j'ai trouvé fk(x)=k*e^x/n

2.D'après cette équation: y'-(1/n)y= - (x+1)/(n(n+1)) [2]
Il fallait trouver les deux réels a et b tels que la fonction affine g définie sur R par g(x) =ax+b soit solution de [2]
j'ai donc trouver a=1/(n+1) et b=1

Et c'est à partir de ce moment la que je n'y arrive plus:
3.a Démontrez que, pour qu'une fonction h définie sur R soit solution de [2], il faut et il suffit que h-g soit solution de [2]

Je ne vois pas le sens de la question, je ne sais pas par quoi commencer

Merci d'avance de votre aide

Posté par Priam Priam

3.a  Est-ce que ce ne serait pas plutôt  " ....h - g soit solution de [1]" ?

Posté par raymond raymond

Bonjour.

h solution de (2)

h' - h = (3)

Or, g est solution de (2), donc, g' - g = (4)

(4) = g' - g

En replaçant dans (3) :

h' - h = g' - g

h' - g' - h + g = 0

(h-g)' - (h-g) = 0

h-g est solution de (1)

Posté par Chail Chail

Si excusez moi c'est solution de [1] en fait

Posté par Chail Chail

Merci raymond !

Posté par raymond raymond

Bonnes fêtes.

Posté par Chail Chail

Après je dois déduire les solutions de [2], comment faire ?

Posté par raymond raymond

Tout est dit dans l'énoncé.

h - g solution de (1)

h(x) - g(x) = k.exp(x/n)

h(x) = g(x) + k.exp(x/n)

Conclusion.

Les solutions de (2) sont les fonctions du type :

Posté par Chail Chail

Merci, mais la question du livre dit : Déduisez les solutions de [2] et ensuite la question suivante est trouvez celles vérifiant f(0)=0
Excusez moi, mais si vous pouviez m'éclairer un peu plus ça serait super

Posté par raymond raymond

Tu écris que h(0) = 0 et cela te donnera la valeur de k.

Posté par Chail Chail

Mais il y en a qu'une alors ? k = -1 ?

Posté par Chail Chail

Sinon ensuite je dois étudier le signe de f'_n
avec f_n(x) = 1 + (x/(n+1))* e^x/n

Est-ce que ma dérivée est juste déjà >
f'_n= ((n+1-x)/(n+1)²) - ((n-x)/n²) * e^x/n

Posté par Chail Chail

Personne pour m'aider ?

Posté par raymond raymond

Je suis étonné que la fonction f_n que tu proposes ne corresponde pas à la solution de la question précédente.

Si c'est bien

alors, ne dérive pas par rapport à n, mais par rapport à x.

Je trouve :

Posté par Chail Chail

Je me suis encore trompé, c'est f_nx = 1+ x/(n+1) - e^x/n

excusez moi

Posté par raymond raymond

La dérivée est alors :

Posté par raymond raymond

Erreur dans le premier exposant : lire exp(x/n)

Posté par Chail Chail

Ok merci bien
Et pour étudier son signe il faut comparer avec 0 si il est plus petit ou plus grand ? Je n'arrive jamais à savoir

Posté par raymond raymond

Ici, c'est comparer exp(x/n) avec n/(n+1)

f_n doit être étudiée sur quel intervalle ?

Posté par Chail Chail

Sur R

Mais je ne vois pas quand vous dites comparez e(x/n) avec n/(n+1)?!

Posté par raymond raymond

Pour connaître le signe de la dérivée, il faut bien regarder ces deux termes.

Posté par Chail Chail

OK, merci je vais essayer tout ça

Posté par Chail Chail

J'ai essayé mais comme il y a un x et des n, je ne trouve pas ..
Pouvez vous me guider un peu sans me donner la réponse tout de suite ?

Posté par raymond raymond

Le signe de f '(x) est celui de

Posté par Tsitsiiii Tsitsiiii

bonjour en debut d'enoce vous touvez a = 1/(n+1) et b =1 je suis desolé mais apres multiple tentative je tombe toujours sur le meme resultat je suis d'accord avec a mais je trouve b=0 je ne comprend pas mon erreur ! Si vous pouvrez me detailler votre calcul sa serait super. Merci beaucoup