Egalité a démontrer.

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Egalité a démontrer.

Posté le 28-12-09 à 22:57

Posté par Thursaz

Bonsoir

J'ai un problème pour démontrer une égalité en tout début d'exercice... Et ca commence à me prendre la tête donc si vous avez des indications je suis preneur

Démontrer :

( p,

)

, sin[(2p+1)

] =

^p_k=0 (-1)^k ((2k+1) parmi (2p+1)) cos^2p+2k(

) sin^2k+1(

)

J'ai essayé une récurrence mais ça m'a pas trop aidé...

Merci beaucoup

(Au fait, c'est un exercice sur les polynômes mais j'ai quand même mis le sujet dans la rubrique trigo...)

re : Egalité a démontrer.

Posté le 28-12-09 à 23:22

Posté par robby3

Salut,
petite indication:
faut aller voir du coté des formules de moivre je crois et utiliser le binôme de Newton...

re : Egalité a démontrer.

Posté le 28-12-09 à 23:33

Posté par Thursaz

Ah oui tiens ça coule tout seul

Merci beaucoup ! Bonne soirée.

re : Egalité a démontrer.

Posté le 28-12-09 à 23:38

Posté par Nicolas_75

Bonjour,

L'énoncé semble faux. N'est-ce pas plutôt 2p-2k ?

Nicolas

re : Egalité a démontrer.

Posté le 28-12-09 à 23:39

Posté par Thursaz

Oui c'est bien 2p-2k, désolé.

re : Egalité a démontrer.

Posté le 29-12-09 à 11:07

Posté par robby3

y'a pas de quoi!

re : Egalité a démontrer.

Posté le 29-12-09 à 22:23

Posté par Nicolas_75

Pour répondre à eleonore depuis ce fil...

$3$\sin^{2p+1}\theta = \mathscr{Im}\left( e^{i(2p+1)\theta} \right)$

$3$\sin^{2p+1}\theta = \mathscr{Im}\left( (\cos\theta+i\sin\theta)^{2p+1} \right)$

$3$\sin^{2p+1}\theta = \mathscr{Im}\left( \Bigsum_{0\le m\le 2p+1} {2p+1\choose m} i^m \sin^m\theta \cos^{2p+1-m}\theta \right)$

Les $i^m$ imaginaires correspondent à $m$ impair. On a alors $i^m=(-1)^{\frac{m-1}{2}}i$

$3$\sin^{2p+1}\theta = \Bigsum_{0\le m\le 2p+1\\m\mathrm{\ impair}} {2p+1\choose m} (-1)^{\frac{m-1}{2}} \sin^m\theta \cos^{2p+1-m}\theta$

On pose $m=2k+1$

$3$\fbox{\sin^{2p+1}\theta = \Bigsum_{0\le k\le p} {2p+1\choose 2k+1} (-1)^{k} \sin^{2k+1}\theta \cos^{2p-2k}\theta}$

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