Determiner des transformations

Posté par atchoume91 atchoume91

Bonjour tout le monde ! J'aimerai obtenir de l'aide pour ce petit exo, le voici:
Les deux cercles suivants sont tangents aux côtés du triangle équilatéral et sont tangents entre eux.

Il faut d'abord determiner l'homothétie par la quelle le cercle C1 a le cercle C2 pour image. Je pense qu'il s'agit de l'homothétie de centre B ( sommet du triangle ) qui transforme le centre de C1 en centre de C2.
En ce qui concerne le rapport k, je ne sais comment le trouver, je sais qu'il est positif et plus grand que 1. mais mise à part ça ... De l'aide ?

Pour la deuxième question, il faut trouver le rapport des aires de ces deux disques. Je pense qu'il faut d'abord trouver le rapport k de l'homothétie pour pouvoir le trouver.

Merci d'avance à tous, à bientôt !

Posté par atchoume91 atchoume91

HELP

Posté par rene38 rene38

Bonjour
Le triangle étant équilatéral, le centre du cercle inscrit (C2) est aussi le centre de gravité, ce qui donne sa position sur la médiane issue de B.
Continue.

Posté par atchoume91 atchoume91

Le centre de C2 est aux deux tiers de la médiane en partant de B, celui de C1 est-il à 1/3 ??

Posté par rene38 rene38

Trace la médiane issue de B ; place le centre de C2 et compare des longueurs de segments (rayons et diamètre de C2, partie de la médiane extérieure à C2 = diamètre de C1)

Posté par atchoume91 atchoume91

On a donc le rayon de C2 qui vaut 1/3 de la médiane, donc le diamètre de C2 vaut 2/3.
Cepandant tu dis "partie de la médiane extérieure à C2 = diamètre de C1", mais toute la partie extérieure ne se trouve pas dans C1, ce n'est donc pas le diamètre de C1 :s ( sauf erreur de ma part )

Posté par rene38 rene38

Parfaitement exact.
Si on appelle T le point commun aux 2 cercles, et si on trace la parallèle à (AC) passant par T, on obtient un nouveau triangle équilatéral dans lequel est inscrit C1.
L'homothétie de centre B qui transforme C1 en C2transforme aussi ce dernier triangle en le triangle ABC d'où le rapport d'homothétie. (qui doit être 3 sauf erreur)

Posté par atchoume91 atchoume91

Okeeeey, je comprends !!!
Pour la deuxième question, on sait que C1 est l'image de C2 par l'homothétie h(B,3), alors l'image de C1 et de rayon r est le cercle C2 de rayon |k|.r d'après le théorème.
Je dois donc trouver le rayon C1, mais c'est pas plus facile de faire avec C2 puisque on sait que le rayon de C2 vaut 1/3 ?

Posté par rene38 rene38

C1 est une réduction de rapport 3 (ou 1/3) de C2.
Or dans une réduction (ou un agrandissement de rapport k, le rapport des aires est k² (et l'éventuel rapport des volumes est k³.

Posté par rene38 rene38

Ou bien, si tu préfères, r étant le rayon de C1 et R celui de C2, on a R=3r.
D'où on déduit le rapport des aires.

Posté par atchoume91 atchoume91

Okey, le rapport des rayons est de 3 et celui des aires est k²
( Mais dire que le rapport des aires est k² c'est pas très utile, puisque c'est un théorème du cours , c'est bien ça qu'on nous demande non ?)

Posté par atchoume91 atchoume91

Personne ?

Posté par rene38 rene38

Rapport des rayons = k = 3
donc
Rapport des aires = k² = 3² = 9

Posté par atchoume91 atchoume91

Ah fallait remplacer ! Merci beaucoup rene38, tu m'as beaucoup aidé, et j'ai compris cet exercice !
à bientôt, bonne journée et merci encore !