Etoile

Posté par J-P J-P

Complétez l'étoile (voir dessin) avec tous les nombres de 3 à 13 de manière à ce que la somme des nombres contenus dans des cercles alignés soit la même partout.

Donnez une solution et indiquez le nombre de solutions différentes possibles.

Il faut répondre aux 2 questions pour obtenir un smiley.
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Bonne chance à tous.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

La somme de chaque ligne doit être égale à : 30.

Il y a 5 solutions différentes qui vérifient les positions proposées pour le 1, le 2 et le 14.

Voila l'une de ces 5 solutions ..

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

Voici une solution en images et j'ai trouvé qu'il y avais 5 solutions possibles, celle que j'ai citée comprise...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

En complément, les 5 solutions que j'ai trouvées (la première ligne est celle jointe à mon envoi).. en espérant que je n'en ai oublié aucune.

Posté par borneo borneo

Je numérote les cases dans le sens des aiguilles d'une montre

a b c d e f g h i j k l m n total = 105
9 11 4 2 8 14 10 1 7 6 13 5 12 3 105


les 7 lignes
a + b + d + e = 30
c + d + f + g = 30
e + f + h + i = 30
g + h + j + k = 30
i + j + l + m = 30
k + l + n + a = 30
m + n + b + c = 30

deuxième solution
a b c d e f g h i j k l m n total = 105
9 12 4 2 7 14 10 1 8 6 13 5 11 3 105


les 7 lignes
a + b + d + e = 30
c + d + f + g = 30
e + f + h + i = 30
g + h + j + k = 30
i + j + l + m = 30
k + l + n + a = 30
m + n + b + c = 30

Donc il y a en tout deux solutions j'en mets une en image

Posté par borneo borneo

et voilà la deuxième image

Posté par Delfinus (invité)

C'est impossible

Chaque nombre fait partie de 2 segments :
somme de 1 à 14 : 105 *2 = 210
  6 segments : 35 par segments

La somme du segment contenant le 1 et le 2 mais pas le 14 fait 70 : ce qui donne 67 pour les 6 chiffres restants

c est impossible : 13+12+11+10+9+8=63

Posté par Severus (invité)

Hello,

J'ai trouvé 5 solutions différentes.

Et ci-dessous une de mes 5 solutions.

A la revoyure dans un prochain post,

Severus

Posté par PaChaMath (invité)

J'ai trouvé Trois solutions dont deux sont représentées graphiquement ci-dessous.

Posté par isisstruiss isisstruiss

J'ai trouvé 5 solutions dont voici une en image.

Isis

Posté par kyrandia (invité)

Bonjour à tous,

J'ai fait un algorithme en Visual Basic pour trouver la solution.
Solution obtenue au bout de 20 minutes de traitement.
Donc désolé pour les puristes.

Voici les 5 solutions :

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse : 5 solutions :
En partant du haut, ligne par ligne, j'appelle les 11 inconnues de a à k (désolé pour l'envoir d'image, ça ne fonctionne pas)

a b c d e f g h i j k

11 13 4 7 6 3 12 10 9 5 8

5 7 3 12 8 9 13 11 10 4 6

9 12 3 11 4 5 13 8 6 7 10

9 11 3 12 4 5 13 7 6 8 10

9 6 3 11 10 5 13 8 12 7 4

Méthode :
En partant du haut, ligne par ligne, j'appelle les 11 inconnues de a à k
avec toutes les sommes des 7 côtés égales à S.

Le total des nombres de 1 à 14 est 105.
On a 7 côtés sur lesquels chaque nombre est compté deux fois.
On a alors : 7xS = 2x105=210 d'où S = 30
La somme magique est donc 30.

On a alors e+k=14 et j+h=15 ; soit les possibilités :

e k j h
3 11 3 12
4 10 4 11
5 9 5 10
6 8 6 9
8 6 7 8
9 5 8 7
10 4 9 6
11 3 10 5
11 4
12 3
On peut tout de suite ne pas retenir le k=3 puisqu'on aurait g+i+1+3=30, soit g+i=27 : impossible. Idem pour j,h=12,3 qui fournit a,d=12,13 ou 13,12 avec 12 qui est déjà pris par j.

Les associations possibles pour les quadruplets sont (les sommes d+a et g+i ont été déduites : un N ou un barré indique l'impossibilité d'unicité) :

e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
3 11 5 10 12,6 12,6
6 9 12,7 13,5 10,8
7 8 N
8 7 12,9 13,5
9 6 12,10 13,5
10 5 N
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
4 10 3 12 11,5 9,7 13,6 11,8 10 4 3 12 11,5 9,7 N
6 9 12,7 11,8 12,7 11,8 6 9 11,8 12,13
7 8 11,9 13,6 7 8 11,9 12,13
8 7 12,9 13,6 8 7 12,9 12,13
9 6 N 9 6 N
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
5 9 3 12 10,6 13,7 9 5 3 12 10,6 13,11
4 11 10,7 12,8 4 11 N
7 8 N 7 8 N
8 7 N 8 7 10,11 13,11
11 4 N 11 4 N
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
6 8 3 12 9,7 10,11 8 6 3 12 11,5 9,7 13,10
4 11 10,7 12,9 4 11 12,5 13,10
5 10 11,7 12,9 5 10 11,7 11,12
10 5 11,12 12,9 10 5 11,12 11,12
11 4 N 11 4 N
En retirant les impossibilités :
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
3 11 6 9 12,7 13,5 10,8
8 7 12,9 13,5
9 6 12,10 13,5
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
4 10 3 12 11,5 9,7 13,6 11,8 10 4 6 9 11,8 12,13
6 9 12,7 11,8 7 8 11,9 12,13
7 8 11,9 13,6
8 7 12,9 13,6
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
5 9 3 12 10,6 13,7 9 5 3 12 10,6 13,11
4 11 10,7 12,8
e k j h d+a g+i e k j h d+a g+i
6 8 3 12 9,7 10,11 8 6 3 12 11,5 9,7 13,10
4 11 10,7 12,9 4 11 12,5 13,10
5 10 11,7 12,9

Soit 21 tableaux de 24 lignes.
Sur ces 21 tableaux, avec Excel, je n'en trouve que 5 magiques.

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par Razibuszouzou (invité)

Bonjour, je suis un petit nouveau sur ce site, que je trouve très riche et très sympa. Cela fait quelques semaines que je tourne autour du pot, jetant un coup d'oeil aux énigmes que vous proposez, et aujourd'hui j'ai craqué : je me suis inscrit pour participer avec vous.

Je suis attiré par les énigmes qui demandent de la finesse (comme celle sur les bêbêtes qui bouffent les pages), plutôt que par celles qui demandent de gros calculs ou des outils mathématiques puissants que je ne maîtrise pas. Mais bref, je ne suis pas là pour raconter ma vie.

Aujourd'hui ça commence très fort, car des calculs il y en a beaucoup !

Commençons par remarquer qu'il y a 14 nombres de 1 à 14 à attribuer (3 d'entre eux le sont déjà). La somme des noimbres de 1 à 14 fait 14*15/2 =105.
Chaque nombre se situe sur 2 alignements différents. La somme de toutes les lignes fera donc 105*2 = 210. Comme il y a 7 lignes (dont le total doit être identique), chacune doit faire un total de 30.

Ensuite, nous allons nous arranger pour que le total de chaque ligne fasse 30. Commençons par les lignes dont nous connaissons déjà 2 éléments, c'est à dire les lignes A - 2 - 14 - C et B - 14 - 1 - D   (voir le petit dessin en dessous pour la notation).

La somme de A et C doit faire 30 - 2 - 14 = 14. A et C peuvent donc prendre les valeurs suivantes : 3 et 11 , 4 et 10, 5 et 9, 6 et 8 (et inversement). On choisit une valeur et on regarde s'il n'y a pas de contradiction par la suite. Par exemple, si l'on choisit A = 3, alors C = 11. On observe ce qui se passe à la ligne suivante : la somme de B et D doit faire 15, ces 2 lettres peuvent donc valoir 3 et 12, 4 et 11, 5 et 10, 6 et 9, 7 et 8. Mais comme les nombres 3 et 11 sont déjà pris, cela exclut les 2 premières possibilités.

A partir d'ici, je ne vais pas détailler le raisonnement qui est très fastidieux, mais on comprend bien la méthode : Pour chaque ligne, on procède à une hypothèse sur l'un des nombres inconnus, on en déduit l'autre nombre inconnu. Puis on passe à la ligne d'après, où l'on fait de nouvelles hypothéses. Au bout d'un moment, on arrive à une impossibilité, et on repart alors en arrière, changeant l'une des hypothèses, jusqu'au moment où il y en a une qui marche pour les 7 lignes (En réalité quand elle marche pour 6 elle marche pour 7).

En définitive, après beaucoup de tatonnements, je n'ai trouvé que 5 solutions qui marchaient. Les voici :

A = 4 B = 7 C= 10 D = 8 E = 6 F = 13 G = 5 H = 11 I = 3 J = 9 K = 12

A = 4 B = 8 C= 10 D = 7 E = 6 F = 13 G = 5 H = 12 I = 3 J = 9 K = 11

A = 6 B = 10 C= 8 D = 5 E = 9 F = 12 G = 3 H = 13 I = 4 J = 11 K = 7

A = 8 B = 11 C= 6 D = 4 E = 10 F = 13 G = 9 H = 7 I = 3 J = 5 K = 12

A = 10 B = 8 C= 4 D = 7 E = 12 F = 13 G = 5 H = 6 I = 3 J = 9 K = 11

Posté par manpower manpower

Voilà, ce que donne un programme assez lourd (par balayage de toutes les possibilités et elles sont nombreuses... le programme à tourné un certain temps) :
Il y a exactement ayant toujours la même somme égale à .
Si on note les valeurs cherchées dans l'ordre alphabétique de haut en bas et de gauche à droite, les 5 solutions sont :
1. a=5;b=7;c=3;d=12;e=8;f=9;g=13;h=11;i=10;j=4;k=6
(c'est la première solution rencontrée et c'est également celle que j'ai choisi d'illustrer ci-dessous.
2. a=9;b=6;c=3;d=11;e=10;f=5;g=13;h=8;i=12;j=7;k=4
3. a=9;b=11;c=3;d=12;e=4;f=5;g=13;h=7;i=6;j=8;k=10
4. a=9;b=12;c=3;d=11;e=4;f=5;g=13;h=8;i=6;j=7;k=10
5. a=11;b=13;c=4;d=7;e=6;f=3;g=12;h=10;i=9;j=5;k=8

NB:Les solutions ne présentent pas vraiment de particularités et elles sont encore beaucoup plus nombreuses (par permutations) sans imposer les trois nombres de départ (1;2;14)

Posté par franz franz

Il existe solutions dont celle-ci

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour à tous :

Alors voila, c'est la première fois que je m'attaque à une énigme à 4 étoiles, donc je ne garanti pas le résulat ...

-> voir l'image pour voir ma solution : la somme contenus dans les cercles alignés fait 30 ( enfin, si je sais encore compté ! )

-> j'ai passé 6 à 7 heures à essayer de résoudre cette énigme, sachant que je ne sais pas créer de programme.
J'ai donc trouvé seulement solutions différentes en tout, qui vérifiaient les hypothèses ( voir ma deuxième solution à droite de l'image )

Voila, en espérant ne pas en avoir oubliées.

@+

Posté par mikemikemike (invité)

5 solutions au total (La somme fait 30)

Posté par paulo paulo

bonsoir, j'espere arriver a temps. excusez la mauvaise image mais j'ai eu peur de la fermeture .
il y a un rond qui n'a pas voulu s'imprimer c'est celui ou il y avait le 1 qui etait donne .


quant aux nombres de solution je pense qu'il y en a 2 par symetrie autour de l'axe 1 _ 5

voila  merci et bonsoir

PS vu le temps que j'y ai passe , je ne pense pas qu'il y ait baucoup de solutions.

Paulo

Posté par paulo paulo

bonjour,

je sais qu'il est trop tard vu que j'ai repondu hier soir mais ma reponse de symetrie ne vaut pas grand chose puisque la position de 14 2 et 1 est impose.

mais le totaldes points est 105 a multiplier par 2 ce qui fait 210 et comme il y a 7 lignes le total de chaque ligne est 30.

sur les 2 lignes commences on a un total de 15 et 16 ce qui fait un complement de 15 et 14. en fait je pense qu'on pouvait repondre 3 solutions.


maintenant j'attends avec impatience la reponse exacte;

Merci encore
Paulo

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.
Il y avait 5 solutions possibles.

C'était accessible sans programmation et sans y passer des heures.

On peut approcher comme suit:

On remarque que chaque "boule" est prise 2 fois, donc la somme de tous des nombres de l'ensemble de toutes les lignes est= 2*(1+2+3+...+14) = 210

Il y a 7 branches et donc la somme des nombres d'une branche = 210/7 = 30.

Ce qui impose: A+B = 14 et C+D = 15.

Possibilités pour (C,D) (sans tenir compte de l'ordre de C et D):
(12,3) ; (11,4); (10,5) ; (9,6) et (8,7)

Possibilités pour (A,B) (sans tenir compte de l'ordre de A et B):
(11,3) ; (10,4) ; (9,5) et (8,6)

Ceci permet de regrouper les cas possibles (sans tenir compte de l'ordre dans les couples) en:

(C,D) = (12,3) et (A,B) = (10,4)
(C,D) = (12,3) et (A,B) = (9,5)
(C,D) = (12,3) et (A,B) = (8,6)
(C,D) = (11,4) et (A,B) = (9,5)
(C,D) = (11,4) et (A,B) = (8,6)
(C,D) = (10,5) et (A,B) = (11,3)
(C,D) = (10,5) et (A,B) = (8,6)
(C,D) = (9,6) et (A,B) = (11,3)
(C,D) = (9,6) et (A,B) = (10,4)
(C,D) = (8,7) et (A,B) = (11,3)
(C,D) = (8,7) et (A,B) = (10,4)
(C,D) = (8,7) et (A,B) = (9,5)

Ce qui fait 48 cas en tenant compte de l'ordre des lettres dans les couples.

On fait alors quelques raisonnements simples pour éliminer des cas:

Exemple:
Si A = 3, la ligne 3+1+X+Y=30 -> X+Y=26 ce qui est impossible à atteindre (car max 12+13)
-> Les 3 cas avec A = 3 sont éliminés.

Si D=3, la ligne 2+3+X+Y=30 -> X+Y=25 ce qui n'est possible qu'avec 12+13.
Donc dans les cas D=3 et C=12 sont impossibles -> 3 cas d'éliminés.
Y=30 -> Si D=6 et C=9 -> 6+2+X+Y=30 -> X+Y=22 (soit avec 9 et 13 mais impossible car pris par C ou alors par 12 et 10)
-> Le cas A=10, B=4 est interdit avec D = 3 -> 1 cas supprimé.

Plus loin on pousse ces raisonnements et plus de cas on élimine...

Il reste alors un nombre limité de cas à "essayer", mais c'est assez rapide car le nombre de couples disponibles pour les lettres restantes diminue vite en entrant plus loin dans l'étoile.

exemple, si on étudie un des cas restant: C = 8, D = 7, A = 10, B = 4,

10+1+X1+X2 = 30 -> X1+X2 = 19
Il reste les nombres 3,5,6,9,11,12 et 13 pour X1 et X2, mais on voit que seuls 13+6 peut convenir.

On continue donc avec ces 2 branches, mais il ne reste que 3,5,9,11,12 pour les chiffres suivants et par la somme des branches = 30, on arrive très vite au bout du cas étudié.
...

Bref, à la fin on conclut qu'il y a 5 solutions possibles qui sont celles citées dans plusieurs des réponses données .
-----
A bientôt pour de futures énigmes.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Merci pour cette énigme résolvable autrement que par la programmation.
C'est, en effet, peu gratifiant (pour soi-même, j'entends) de trouver les solutions uniquement en écrivant qq lignes de codes qui font tout le travail.

Dommage alors pour ceux et celles qui, l'ayant fait à la main, n'ont pas trouvé la totalité des solutions (et aussi à Delfinus qui n'a compté que 6 segments).
Et bienvenue à Razibuszouzou qui a une vision ludique de résolution des énigmes...

Pour info, sans tenir compte des symétries et des rotations, avec les 14 chiffres mis sans contraintes, il y aurait 1008 solutions.

Philoux

Posté par lyonnais lyonnais

j'aurais essayé. Je savais bien que 2 olutions ça faisait pas assez ...

@+

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)

Pour ceux pour qui s'interessent a la programation voici l'algo qui m'a permi de conclure il est basé sur un principe recurcif qui ne lui fais tester que les cas possibles

Ainsi chez moi il repond en 10secondes

La mise en place c'est pas evidente et n'a pas été commentée alors si vous avez des question ou des suggestions n'hesitez pas =)

Eh oui pour certains la programmation n'est pas aussi ridicule que certaines personnes sur ce forum le laissent sous entendre ... Eh oui les gars c'est pas parcequ'on ne sait pas faire quelque chose qu'il faut le denigrer ...

Voici mon source ... En C il y a que ca de vrai

#include <stdio.h>

int tab[9];

int aff()
{
  if ((tab[11]+tab[5]+tab[6] == tab[7]+tab[1]+tab[8])
    &&(tab[13]+tab[7]+tab[1] == tab[2]+tab[3]+tab[10])
    &&(tab[8]+tab[2]+tab[3] == tab[4]+tab[5]+tab[12])
    &&(tab[10]+tab[4]+tab[5] == tab[6]+tab[7]+tab[14])
    &&(tab[12]+tab[6]+tab[7] == tab[1]+tab[2]+tab[9])
    &&(tab[14]+tab[1]+tab[2] == tab[3]+tab[4]+tab[11]))
  {
    int i;
    for(i=1;i<15;i++)
      printf("%d ",tab[ i ]);
    printf("\n");
  }
}

int next(int i, int occ[])
{
  int n;
  for (n=1;n<15;n++)
  {
    if (!occ[n])
    {
      occ[n] =1;
      tab[ i ] = n;
      if (i!=14) next(i+1,occ); else aff();
      occ[n] = 0;
    }
  }
}

int main()
{
  int a;
  int occ[] = {0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1};
  tab[1] = 1; tab[2] = 14; tab[3] = 2;
  next(4,occ);
  printf("---Fin---");
  scanf("%d",&a);
}

Bon courage a tous pour les enigmes a venir

Posté par franz franz

On pouvait aller un peu plus loin même si cela n'amène pas forcément grand-chose.

Sachant (avec les notations de la figure du bas) que la somme de chaque ligne fait 30, que M+I=15


et donc

Cela m'a permis de faire des boucles sur 4 niveaux, mes inconnues étant I,A,B et C.
en effet :
A = fixé
B = fixé
C = fixé
I = fixé

D = 28 - I - A
E = 30 - (B+C+D)   (mais D est à présent connu)
F = 14 - A
H = 16 - C
M = 15 - I
N = 14 - E
J = 30 - (B+F+M)
il suffit de faire les tests idoines.
Le nombre de boucles est de ce qui est rapidement effectué par un PC lambda.

Posté par J-P J-P

Un papier, un crayon et 20 bonnes minutes de raisonnement et calculs élémentaires arrivent aussi à bout de l'étoile.

C'est presqu'aussi rapide que d'écrire un programme informatique, mais c'est plus risqué de se planter.

Posté par Razibuszouzou (invité)

Tout à fait d'accord avec toi, J-P, celle-ci était tout à fait faisable à la main. La preuve : nous sommes plusieurs à avoir procédé ainsi.  Mais il faut avouer que c'était un peu fastidieux, surtout avec des marmots qui vous braillent dans les oreilles, des témoins de Jéhovah qui sonnent à la porte, un truc sur le feu en train de cramer, un appel téléphonique de Mme Machintruc qui veut vous refiler une encyclopédie en 48 volumes et la belle-mère qui arrive à l'improviste.

Posté par dad97 dad97

Surtout la belle-mère qui arrive à l'improviste

Posté par kyrandia (invité)

Tiens celle là j'y avais jamais pensé, la prochaine énigme que je foire j'accuse la belle-mère