Trapèze isocèle

Posté par critou critou

Bonjour,

Une question qui m'embête :

On se donne un trapèze isocèle ABCD (mettons de bases [AB] et [CD], BC=AD)

Comment prouver que [AB] et [CD] ont la même médiatrice ?

_{(question stupide ou pas ?)}

Merci !

Posté par Coll Coll

Bonjour critou

Comme souvent, tout dépend des théorèmes dont tu disposes. On va répondre avec un bagage "collège" :

Dans le trapèze isocèle, les angles en C et D sont égaux. Soit E le point d'intersection de (DA) et de (CB) ; le triangle ECD est donc isocèle ; la médiatrice de [CD] est aussi médiane issue de E, bissectrice issue de E, hauteur issue de E et donc passe par E.
Soit F le milieu de [CD] et G celui de [AB]
Le triangle EAB est également un triangle isocèle en E (considération des angles correspondants en D et A ainsi qu'en C et B) ; la bissectrice issue de E est EF et donc EG ; mais c'est aussi la médiatrice de [AB]

Posté par critou critou

Merci beaucoup Coll, ça me va tout à fait !

Posté par Coll Coll

Je t'en prie.
A une prochaine fois !

Posté par carpediem carpediem

salut

une autre façon en notant I et J les milieux des segments [AB] et [CD]

les triangles AIJ et BIJ ont "même hauteur" et "même base" donc même hypotènuse (théorème de Pythagore)

donc AI=IB et AJ=JB donc (IJ) est la médiatrice du segment [AB]

idem avec les triangles CIJ et DIJ donc même conclusion

Posté par critou critou

Bonjour carpediem

Ça a l'avantage de ne pas introduire de point supplémentaire, mais

Pourquoi seraient-ils rectangles ?

Posté par carpediem carpediem

je viens de revenir et oui tout d'un coup j'ai eu un doute et effectivement dire que [IJ] est la hauteur associée aux bases [AI] et [BI] (ou inversement) c'est sous entendre que (IJ) est médiatrice donc on tourne en rond....

Posté par critou critou

Pas grave, une démo suffira .

Bonne soirée à vous deux !

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Critou.
Encore faut-il avoir démontré que quand un trapèze a ses deux côtés parallèles égaux, ses deux angles à la base sont égaux.
Soit E le milieu de [AB]. Les parallèles menées de E respectivement à (AD) et à (BC) rencontrent [DC] respectivement en G et en F.
EADG et EBCF étant des parallélogrammes, EG = AD et EF = BC : EG = EF et le triangle EGF est isocèle.
Angle EGF = angle EFG.
Angle EGF = angle ADG (correspondants) et angle EFG = angle BCF (correspondants).
Donc angle ADG = angle BCF.
Soit I le point de rencontre des deux côtés non parallèles.
Le triangle IDC est isocèle. Le triangle IAB aussi, car ses angles IAB et IBA sont égaux respectivement aux angles égaux ADG et BCF (correspondants).
Les triangles IDC et IAB ont la même bissectrice de leur sommet I. Elle est aussi la médiatrice de leurs bases respectives [DC] et [AB].

Posté par critou critou

Bonjour,



Preuve
(i) => (ii) : merci plumemeteore !
(ii)=>(iii) : c'est ce qu'avait fait Coll
(iii)=>(i) : les parallèles à ladite médiatrice en A et B coupent [DC] en G et F, en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles AGD et BFC on obtient AD=BC.
Correct ?

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Critou.
(iii) : Ne connaît-on plus les cas d'égalité des triangles (ici un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun).

Posté par carpediem carpediem

resalut

pour ce que j'avais dit plus haut j'avais été influencé par un exo que je venais de donner à mes seconde sur un trapèze isocèle : mea culpa

par contre pour iii) i) je dirais tout simplement que la médiatrice est axe de symétrie du trapèze donc les angles adjacents à une même base sont égaux...