congruences et disjonction

Posté par nxdcc nxdcc

bonjour
j'ai un exercice a faire mais je n'y arrive pas
j'aimerai un petit coup de pouce :

Montrer, en utilisant les congruences et la disjonction des cas, que, pour tout entier naturel n,
l'entier n(n+1)(2n+1) est multiple de 6

je ne vois pas comment m'y prendre
merci de m'aider
cordialement

Posté par Drasseb Drasseb

De mémoire, le mieux est encore de faire une disjonction de cas suivant le reste de n modulo 6, et tu vas voir que beaucoup de cas se simplifient directement, et tous t'amènent à conclure qu'on obtient pour le produit des trois un multiple de 6.

Après, il faut être à l'aise avec la multiplication de congruences (au pire, pour te convaincre tu reviens à l'élément : signifie pour un certain entier , etc...

Posté par nxdcc nxdcc

bonjour
je suis toujours coincée a cet exercice

j'ai démontré que si n=6p  alors a)6p(n+1)(2n+1)=6q
maintenant je ne sais pas ce que je dois faire
dois-je essayer avec n=6p+1 ???
j'avoue que j'ai du mal avec les congruence
merci

Posté par galois galois


Bonjour,

Pour tout n€N, n(n+1) est multiple de 2. Il faut donc montrer que le produit
n(n+1)(2n+1) est multiple de 3. Or tout entier n s'écrit n=3p+r (p€N et r€N)avec r=0, r=1 ou r=3.

Cordialement.

Posté par galois galois



rectificatif: r=0, r=1 ou r=2.

Bonne journée.

Posté par lolo271 lolo271

On a le droit d'être plus malin que l'énoncé ?  J'ai toujours eu horreur des énoncés imposant une méthode :

a)  n(n+1)(2n+1)/6 =   est la somme des carrés des n premiers entiers donc c'est un entier.

une autre :  
b) n(n+1)(2n+1) est pair car  n(n+1) l'est,  ensuite modulo 3 :  n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(2n+4) = 2n(n+1)(n+2)  contient un produit de 3 entiers consécutifs donc est multiple de 3 .
(celle ci c'est un peu la disjonction quand même)

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

> lolo271 J'ai eu la même réaction que toi, (ta version b) et je me suis abstenue, vu la terreur que ces "consignes" ont l'air de répandre... par exemple regarde la détresse dans laquelle j'ai plongé ce pauvre élève

Si j'écris, c'est essetiellement pour te féliciter pour a)! je n'y ai jamais pensé (probablement tout aussi térrorisée que mes interlocuteurs)

Posté par lolo271 lolo271

Merci beaucoup pour ces félicitations. (même si y a pas de quoi)...ça me change en général les gens protestent "mon prof m'a dit de faire ainsi" .