Défi: Suites convergentes et topologies.

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 Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 16-01-10 à 17:52
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour tout le monde 

Un 'ti exo très sympathique:

Citation :
Soit (X,T) un espace topologique séparé.

La donnée des suites convergentes de X définit-elle de manière univoque T?

C'est non triviale, donc n'hésitez pas à demander des nains dix. 

Bon courage.

Ayoub.
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 18-01-10 à 14:29
Posté par Camélia Camélia 

Bonjour

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 Bien sur, non! Alors voilà un contrexemple: 

Sur R on prend la topologie dont les ouverts sont les ouverts habituels ET les complémentaires des parties dénombrables. Les singletons ne sont pas ouverts, donc ce n'est pas la topologie discrète. Comme on a les ouverts habituels, c'est séparé. On voit facilement qu'une suite est convergente si et seulement si elle est stationnaire... comme pour la discrète.

A vérifier, c'est un arrangement à mon avis plus cmpréhensible que ce que l'on trouve d'habitude avec les ordinaux. 
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 18-01-10 à 15:33
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut

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Oui oui, ça marche! Bien vu.

 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 18-01-10 à 15:35
Posté par Camélia Camélia 

Salut Ayoub

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Tu avais autre chose?
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 18-01-10 à 16:14
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut 

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En effet: on a vu en TD qu'il y avait équivalence entre la convergence faible et forte des suites dans l1. (théorème de Schur)

 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 19-01-10 à 17:58
Posté par blang blang

Bonsoir Ayoub et Camélia

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Citation :
Sur R on prend la topologie dont les ouverts sont les ouverts habituels ET les complémentaires des parties dénombrables

Mézalor en ajoutant les AB et les AB, où A est un ouvert "habituel" et B une partie co-dénombrable ?
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 19-01-10 à 18:02
Posté par blang blang

Mouais enfin surtout les AB 
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 19-01-10 à 22:37
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

blang >> J'vois pas où tu veux en venir...

 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 20-01-10 à 14:25
Posté par Camélia Camélia 

> blang

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Oui, bien sur, je voulais parler de la topologie engendrée... J'ai toujours examiné le phénomène en prenant uniquement les parties co-dénombrables; les seules suites convergentes sont les stationnaires. Le problème est que ce n'est pas séparé. En rajoutant les ouverts usuels, j'assure la séparation. Le rique était qu'à force de rajouter, je me retrouve avec la discrète. Je ne crois pas que ce soit le cas...
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 21-01-10 à 16:15
Posté par blang blang

Citation :
blang >> J'vois pas où tu veux en venir...

Comment être sûr que la topologie engendrée par les ouverts habituels auxquels on ajoute les parties co-dénombrables n'est pas la topologie discrète ? 
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 21-01-10 à 16:29
Posté par Camélia Camélia 

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Il me semble bien que les singletons ne sont pas ouverts... Les parties codénombrables forment déjà une topologie donc ce que je rajoute en prenant les deux, ce sont bien les intersections d'un ouvert usuel et d'une partie codénombrable, comme tu l'avais remarqué. On ne peut pas obtenir un singleton!
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 21-01-10 à 17:27
Posté par blang blang

Camélia> 

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Bon, ça doit être bête mais je ne parviens pas à prouver que les 

 AB avec A ouvert "habituel" et B co-dénombrable,forment une topologie   Il doit y avoir un truc de base qui m'échappe.

 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 21-01-10 à 21:04
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

blang >>  Cliquez pour afficher
C'est pas important ça: on considère seulement la topologie engendrée par les trucs de la forme A et de la forme B (en reprenant tes notations). Elle existe (c'est l'intersection de toutes les topologies la contenant). Le seul truc qu'il faut vérifier c'est qu'elle est strictement moins fine que la topologie discrète. Camélia n'a pas fait la vérification, mais on est moralement convaincu que c'est le cas. 
 re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 22-01-10 à 14:36
Posté par Camélia Camélia 

Bon, allons-y!! blang a raison, mais moi aussi! (enfin, je crois!) 

Je mets dans le chaudron les ouverts habituels et les codénombrables.

Une réunion quelconque! Vu que les uns et les autres sont stables par réunion, il faut donc rajouter les réunions d'un ouvert normal et d'un codénombrable.

Intersections finies: Les U sont normaux les C codénombrables. C'est clair qu'il faut rajouter les intersection type  et donc leurs réunions... 

Et là je crois vraiment avoir décrit la topologie...

En particulier  y est! 

Je continue à prétendre qu'un singleton ne peut pas s'écrire comme ça!

  re : Défi: Suites convergentes et topologies. Posté le 22-01-10 à 14:36
Posté par Camélia Camélia 

Oublié de blanker! mais maintenant ce n'est plus très grave...

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