demonstration héron pour triangle particulier

Posté par rivalducan rivalducan

Bonjour,
j'aimerais que vous m'aidiez pour mon dm de maths, cela fait des heures que je cherche sans résultat.

Voici l'énoncé:

Demontrer la formule de Héron d'Alexandrie dans le cas des triangles équilatéraux, isocèles non équilatéraux et rectangle (une démonstation pour chaque cas
A=p(p-a)(p-b)(p-c)
p= demi-pèrimètre

Merci d'avance pour vos réponses futurs.

Posté par dagwa dagwa

Bonjour,

pour le triangle rectangle on a a²+b²=c², 2p=a+b+c et . Il vient a²+b²=(2p-(a+b))²=4p²+(a+b)²-4p(a+b) d'où ab=2p(a+b)-2p²=2p(a+b-p) ce qui donne A=p(p-c). Montrons que p(p-c)=(p-a)(p-b). En développant on obtient p²-pc=p²+ab-p(a+b) donc ab=p(a+b-c) soit encore 2ab=(a+b)²-c² ce qui est vrai car a²+b²=c². De là .

Posté par rivalducan rivalducan

merci, vous m'aidez bien, mais je ne vois toujours pas pour les 2 autres démonstration. Les maths c'est mon point faible =(

Posté par dagwa dagwa

Pour le triangle équilatéral tu peux remarquer que 2p=3a et que A s'exprime en fonction de a.

Pour le triangle isocèle (et non équilatéral) on a 2p=a+2b et A peut s'exprimer en fonction de a et b.

Si avec ces indices tu n'y arrives pas tu peux aussi remarquer que et dans le second cas. Dans les deux cas la hauteur par rapport au côté de longueur a se calcule assez facilement.

J'espère t'avoir aidé.

Posté par rivalducan rivalducan

Désolé mais je ne comprend pas tous, pouvez-vous détailler votre raissonnement, car ayant de grave lacune en maths, j'ai du mal a comprendre.
Merci d'avance

Posté par dagwa dagwa

Pour le triangle équilatéral on a a=b=c où a, b et c sont les longueurs des trois côtés. Ainsi 2p=a+b+c=3a ce qui donne , et 2(p-a)=a.

De plus la hauteur d'un triangle équilatéral vaut donc et on veut .

Il vient .

Est-ce plus clair ?

Posté par rivalducan rivalducan

merci, ceci est plus clair, mais comme je vous l'ai djà dit je suis, pas très fort en maths, je ne vois pas pour le triangle isocèles et pour le triangle rectangle a parit de là "d'où ab=2p(a+b)-2p²=2p(a+b-p)" , je ne comprend pas tous.

Posté par dagwa dagwa

Le calcul avec le triangle isocèle est similaire avec celui sur le triangle équilatéral. Qu'as-tu fait ?

Pour le triangle rectangle j'ai écrit

Il vient a²+b²=(2p-(a+b))²=4p²+(a+b)²-4p(a+b) d'où ab=2p(a+b)-2p²=2p(a+b-p) ce qui donne A=p(p-c).

Cela vient du fait qu'en réécrivant 4p²+(a+b)²-4p(a+b) on obtient 4p(p-(a+b))+a²+b²+2ab. Ainsi a²+b²=4p(p-(a+b))+a²+b²+2ab et donc ab=2p(a+b-p).

Pour le triangle rectangle si tu préfères on montre que p(p-c)=(p-a)(p-b) et ab=2p(a+b)-2p²=2p(a+b-p)=2p(p-c). Comme A=ab/2 on obtient .

Est-ce plus clair ?

Posté par rivalducan rivalducan

Pour le triangle rectangle, j'ai tous compris, mais pour le triangle isocèle, est-ce exactement pareil ?
Car mon prof de maths, nous as dit qu'il fallait une demonstration différente pour chaque triangle particulier

Posté par dagwa dagwa

Ce n'est pas exactement pareil. La hauteur ne s'exprime pas de la même façon de même pour p et A. Pour retrouver dans ce cas A²=p(p-a)(p-b)² il y a quelques manipulations différentes.