DM : irrationalité

Posté par rayver rayver

Bonjours tout le monde.
Voila je bloque à un exo d'un DM de spé maths, assez spécial pour de l'arithmétique je trouve.

Voici l'énoncé :

On note le réel égal à sin (/18).

1)a. Exprimer sin (3x) en fonction de sin (x)

b. Montrer que est solution de l'équation :

4x³ -3x + = 0

2. On suppose que = avec p et q premiers entre eux. En déduire alors que ne peut être égal qu'à -1, , ou 1

3. Conclure.

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Alors je bloque à la question 2, j'arrive pas à le montrer à cause du fait qu'on a des fractions qui empêche l'utilisation des théorèmes d'arithmétique que j'ai vu.

Pour la 1a je trouve sin(3x)=-4sin³(x)+3sin(x)
Ceci m'a permis de trouver la 1.b grace au fait que 1/2=sin(/6)=sin(3/18)

Mais à la 2, je commence, je remplace x par p/q, mais je vois pas comment montrer de façon rigoureuse ce qui nous est demandé. Ce que je commence à faire, c'est mettre le 1/2 de l'autre côté, puis factoriser par p/q, mais comment conclure ?

Voici ou j'arrive :

[4 - 3] =

Mais après je sais plus ou aller.

Je vous demande donc un peu d'aide ! Merci d'avance.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

On suppose donc que fraction irréductible (donc p et q premiers entre eux).

Après réduction au même dénominateur l'équation devient



Alors donc q est pair. Soit q=2m. On remplace et on trouve



Simplification par 8 :. Le second membre est divisible par p.

Premier cas: p > 1. Alors p admet au moins un diviseur premier, celui-ci divise m, donc q, et ceci est impossible car p et q sont premiers entre eux .

Deuxième cas: p=1. L'équation devient m^3+3m^2=1 ce qui est tout aussi impossible!

Posté par rayver rayver

merci mais tu ne répond pas à la question ... ? Comment tu montres que les seules résultats envisageables sont -1, 1, 1/2 et -1/2 ?

Posté par Camélia Camélia

En effet, je n'ai pas suivi les consignes... mais j'ai démontré que est irrationnel!

C'est vrai que sachant que je n'ai pas envisagé le cas ou il serait négatif. Si on y tient, dans ma démonstration il faudrait aussi regarder le cas p=-1. Celui-ci mène à




qui bien sur n'est pas possible avec m entier.

Ceci étant dit, je ne sais pas par quel chemin, ils sont arrivés à leurs valeurs... alors que c'est clair depuis le début que q est pair!

Posté par rayver rayver

je pense que les valeurs proviennent de l'égalité que j'ai mise dans mon premier post :

[4²-3] =

soit k= [4²-3], k

k =

On doit pouvoir conclure à partir de là, sinon je vois pas ...
Ou alors j'ai tout faut ... le "Déduire" montre quand même que ce n'est pas une démonstration qui est à faire, mais juste une déduction logique à partir de ce que l'on sait déjà (après quelques bidouillages) ...

Ta démonstration est bonne, mais cela ne semble pas être ce qu'on nous demande de faire.
merci quand même

Posté par Camélia Camélia

Franchement, je ne sais pas...

Posté par rayver rayver

d'accord, merci quand même de ton aide.
Quelqu'un d'autre peut-il m'aider ?

Posté par rayver rayver

personne peut m'aider ? Je suis censé rendre ce devoir maison demain, même si la prof nous a dit qu'elle nous accordera quelques jours de plus si c'est nécessaire vu qu'elle nous a laisser qu'une semaine.

Posté par lolo271 lolo271

Bonjour,

4(p/q)³ -3p/q +1/2 = 0  donc  4p³ -3 pq² + q³/2 =0  donc
8p³ -6 pq² + q³ =0  ,

donc  q²  divise  8 p³  comme  q  et p sont premiers entre eux c'est que  q²  divise  8 , donc  si on a choisit q>0, on a
q= 1 ou q= 2 .

Ensuite avec la même égalité : p  divise  q³  comme p  et  q sont premiers entre eux c'est que  p  n'a aucun facteur premier donc p= 1 ou -1

finalement  -1/1 ou -1/2 ou 1/1 ou 1/2  sont les seules possibilités.

Juste plus long que Camélia ...mais généralisable à d'autre situations.

Posté par lolo271 lolo271

exercice du même style : montre que  x²³⁽ + 15 x⁷  -1  n'a aucune solution rationnelle.

Posté par lolo271 lolo271

= 0   bien sûr

Posté par Camélia Camélia

Eh bien, au moins j'ai compris quelle était l'idée sous-jacente à la question... Franchement je ne voyais pas ou ils voulaient en venir, d'autant plus quej'avais une solution! Merci lolo271

Posté par rayver rayver

merci lolo271 !