PGCD et PPCM

Posté par Osaki Osaki

Bonsoir, bonjour à vous.

Voilà je bloque sur un exercice qui me parait simple je sais pas comment faire...
Toutes les pistes sont les bienvenues
Je vous remercie d'avance ^^

On a : a,b € IN*. On note aZ+bZ={au+bv / (u,v)€Z²}

Montrer que aZ+bZ=(a^b)Z. (E)
J'ai écris (E) de la forme au+bv=cZ, avec c=(a^b), ensuite je me ramène à une inégalité de Bezout mais rien à faire j'y arrive pas.
Tout éclaircissement est le bienvenue.

Merci.

Posté par frenicle frenicle

Bonsoir,

Il faut prouver que
(1) aZ + bZ (ab)Z
et
(2) (ab)Z aZ + bZ

(1)
Comme ab divise a, aZ (ab)Z   (un multiple de a est nécessairement multiple de ab)
De même pour b, d'où la conclusion, facilement.

(2) Il suffit de prouver que ab est dans aZ + bZ, c'est-à-dire s'écrit au + bv : Bézout.