norme dans R[X]

Posté par aduf aduf

Bonjour,

Connaissez-vous une norme sur l'ensemble des polynômes qui rende l'opérateur de dérivation continu ainsi que l'opérateur qui à P associe XP ?

Merci de m'informer.

Posté par kybjm kybjm



Regarde nN : _k a_kX^k   _k |a_k|e^-k

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

pas bête ça (je cherche depuis un quart d'heure)... j'ai un peu perdu sur ce genre de truc !
merci Kybjm

Posté par kybjm kybjm

Non ,  ça ne marche pas pour D : P P '

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

j'étais en train de regarder cela justement

(pour X.P c'est simple on peut se contenter de la norme "canonique")

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

effectivement, en prenant P_n(X) = eⁿ/n Xⁿ

on a N(P_n)0 quand n
mais N(P'_n) = e ne tend pas vers 0
d'où problème pour une application linéaire !
sauf erreur de ma part

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

et k!.|a_k| ?

Posté par kybjm kybjm


Je pense que   _n a_nXⁿ _n  (n+1)|a_n|  marche

Mais je ne suis pas bien réveillé ce matin .

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

non, je ne crois pas qu'elle fonctionne la tienne

regarde la suite P_n = Xⁿ/n²

sa norme tend vers 0
la norme de sa dérivée tend vers 1

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

par contre la mienne de 11:09 a l'air de marcher...

||p'|| = ||P|| - |a₀| ||P|| si je ne m'abuse

Posté par aduf aduf

Pour rendre l'opérateur de dérivation continu ne faudrait-il pas une norme faisant intervenir P et P'? ensuite il nous faudrait une norme commune pour D et pour l'opérateur qui à X associe XP.......

Merci pour vos idées.......

Posté par aduf aduf

je vais regarder la norme N(P)=sup{|P(x)+P'(x)|  x\in[0,1]}, c'est une norme reste à vois si cela convient ???????

Posté par kybjm kybjm

Soit N une norme sur [X] . Posons , pour n , N(Xⁿ) = u(n) .

Si N rendait continues les applications linéaires P P ' et P XP il existerait un réel c > 0 tel que pour tout n on ait :
N((n+1)Xⁿ) c.N(Xⁿ⁺¹)  et N(Xⁿ⁺¹) c.N(Xⁿ) càd : (n+1)u(n) c.u(n+1) et u(n+1) c.u(n). On aurait donc  (n+1)u(n)   c².u(n) pour tout n ce qui me semble contradictoire .

Posté par aduf aduf

super, ça permet de conclure, reste à trouver une norme qui rende continu l'opérateur de dérivation........

Un grand merci

Posté par kybjm kybjm

La norme proposée par MatheuxMatou rend D continue.