Descente infinie de Fermat.

Posté par triste99 triste99

Bonjour,

Est ce que quelqu'un peut m'expliquer le principe de la descente infinie due à Fermat? Ou bien me donner un site fiable qui l'explique.

Merci d'avance.

Bien à vous,

Posté par nisha nisha

salut!
je crois qu'en fait le but c'est de trouver des solutions à une équation.
on part d'une solution triviale x₀, et on en construit une plus petite x₁.
or comme les solutions sont forcément positives, il est impossible de construire une suite infinie d'entiers positifs strictement décroissante, ie d'avoir une suite de solutions de l'équation, avec x_i-1>x_i.

Posté par nisha nisha

le fait qu'on ne puisse pas itérer ce processus indéfiniment (comme on est dans ) conduit à une contradiction. et donc il n'existe pas de solution non triviale à l'équation.

Posté par lolo271 lolo271

exemple (bac 2005 ou 4 ou 6 ?) :

Supposons qu'il existe un triplet d'entiers naturels (x, y,z) tels que  x² + y² = 7z²

alors en regardant les congruence modulo 7 tu montres que nécessairement, x et  y  et donc  z  sont divisibles par 7 .

Donc (x/7, y/7,z/7)  est une autre solution entière .

Rédaction en descente : au bout d'un certain temps on a une impossibilité si le (x,y,z) de départ n'est pas nul car on a une infinité décroissante strictement d'entiers.

Rédaction propre : si on choisit (x,y,z) avec  z  minimal non nul parmi toutes les solutions alors  z= z/7  absurde !

Posté par triste99 triste99

Merci pour vos réponses,

Concernant la réponse de Mr ou Mme lolo271,  pourquoi vous avez pris l'égalité x²+y²= 7z²? si on sait que le théorème de Fermat propose l'égalité (x²+y²=z², tel que x,y,z sont des entiers, or quand vous proposez le 7, cela veut dire qu'il était à l'origine un nombre irrationnel?

Je n'arrive toujours pas à comprendre, est ce que vous avez des autres exemples qui peuvent m'éclaircir encore plus...?

Merci d'avance.

Posté par lolo271 lolo271

Attention x ² +y² = z²  a des solutions ( 3,4,5 p) par exemple.

On prend 7 parce que là y en a pas .

Posté par triste99 triste99

Oui, je sais que d'après les triplets pythagoricien... x²+y²=z², je connais qu'il y a plusieurs solutions possible dans Z (l'ensemble desentiers) comme par exemple 5, 12, 13) ou(12, 35, 37). Mais ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est le 7? d'où il sort?

Vous proposez l'équation suivante:
x² + y² = 7z²

et d'après l'équation x²+y² = (z V7)² pour avoir x² + y² = 7z²... Mais racine de 7 n'est pas un nombre entier...?
Je suis désolée, peut être il y a un détail qui m'échape, mais je ne comprend pas parfaitement.

Posté par lolo271 lolo271

On n'a pas besoin de savoir d'où sort le 7 pour résoudre (cela dit c'est louable de chercher à savoir).

Par exemple x ²+ y² = 5z²  a elle aussi des solutions, ne surtout pas faire apparaître la racine carrée sinon on n'est plus avec des entiers

Posté par lolo271 lolo271

Pour résoudre avec 7 je t'ai donné une indication.

Posté par triste99 triste99

Si je suis votre raisonnement, on va Supposer qu'il existe un triplet d'entiers naturels (x,y,z)
Tels que x² + y² = 5z²
On utilisant modulo 5, on a que x, y, z sont divisibles par 5 alors on a (x/5, y/5, z/5) est une autre solution entière ???[x/5 ==> c'est un nombre rationnel, ou bien je n'ai pas compris…]
« Rédaction en descente » comme vous le dites : après multiple opérations avec le même raisonnement on a une impossibilité si le (x,y,z) de départ n'est pas nul car on a une infinité décroissante strictement d'entiers ( mais le fait d'avoir des fractions, on n'est plus dans Z, c'est ce qu'il me tracasse...).
Rédaction propre : si on choisit (x,y,z) avec z minimal non nul parmi toutes les solutions alors z= z/5 ?
En fait, on choisit que des nombres premiers pour les multiplier par z, ou bien avec n'importe quel nombre du moment qu'il soit entier???

Posté par triste99 triste99

Pour vous dire, je n'ai absolument pas compris cette descente infini de Fermat...
Je dois l'expliquer à mon groupe pour une présentation.

Posté par lolo271 lolo271

NON avec  5 ça ne marche pas !

Modulo 7 , les carrés sont  0, 1,4 , 2  et c'est tout (faire le calcul !!)  or  1+ 4 ne fait pas 0, 1+2 non plus etc....est-que tu conais les congruences ? sinon c'est pas la peine.

Posté par triste99 triste99

Non, malheureusement...
Ce n'est pas grave, je demanderai à mon professeur de m'expliquer un peu...
Merci d'avoir essayer de m'aider, c'est très gentil de votre part.