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Exercice de qualité : limite de suite
Posté le 28-01-10 à 19:04
Posté par 
Eurotruck Eurotruck
Bonjour,
Soit la suite définie par
et pour tout n
, par )
. Prouver que cette suite converge vers un réel 
, avec 3,1<<3,2.
Réponse blanké cette fois-ci
Eurotruck EurotruckBonjour,
Soit la suite définie par
, par Réponse blanké cette fois-ci
Cliquez pour afficherre : Exercice de qualité : limite de suite Posté le 25-02-10 à 12:15
Posté le 25-02-10 à 12:15Posté par Eurotruck Eurotruck
Hier, j'étais en train de feuilleter mon livre de maths alors je suis revenu sur cet exercice et je l'ai résolu avec la méthode Terminale.
C'est parti !
Il faut tout d'abord montrer que la suite converge
Démontrons par récurrence que
la propriété est vraie au rang 0.
On suppose que pour p fixe 
.
On doit démontrer que
Posons = 2+ ln(x) )
f est dérivable sur
car le domaine de validité de la fonction ln est respecté.
 = \frac{1}{x})
donc f est croissante sur .
On peut donc applique la fonction f.
On sait que
=> < f(u_{p+1}))
=>
CQFD
Finalement pour tout n 
Ensuite on montre qu'elle est majorée par 3,2.
On suppose que
pour p fixé .
On doit démontrer que
.
On sait que.
On applique la fonction f qui est croissante sur .
 < f(3,2))
comme f(3,2)
2,16 on conclut que .
Donc pour tout n, 
On a donc)
qui est croissante et majorée. Donc elle converge vers une limite notée 
.
Il nous reste à montrer que est minorée par 3,1.
On sait que la suite converge, donc sa limite est solution de l'équation =x)
.
On pose = 2+ln(x)-x)
On étudie cette fonction sur.
g est dérivable sur
car le domaine de validité de ln est respecté.
= \frac{1-x}{x})
donc g est décroissante sur (car 
et 
.)
=1)
et  = -\infty)
donc g s'annule une fois .
Grâce à la calculatrice, on constate que g s'annule entre 3,1 et 3,2.
On a g continue et dérivable sur.
![\rm g(]3,1;3,2[) = ]-0,036;0,031[](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm g(]3,1;3,2[) = ]-0,036;0,031[)
(à peu près)
et il se trouve que 0 ]-0,036;0,031[.
D'après le théorème de la bijection on a
. (sauf erreur)
Je pense que ma solution est correcte, mais s'il ya une erreur, ce serait gentil de me signaler
Eurotruck EurotruckHier, j'étais en train de feuilleter mon livre de maths alors je suis revenu sur cet exercice et je l'ai résolu avec la méthode Terminale.
C'est parti !
Il faut tout d'abord montrer que la suite converge
Démontrons par récurrence que
On suppose que
On doit démontrer que
Posons
f est dérivable sur
On peut donc applique la fonction f.
On sait que
=>
=>
Finalement pour tout n
Ensuite on montre qu'elle est majorée par 3,2.
On suppose que
On doit démontrer que
On sait que
On applique la fonction f qui est croissante sur
2,16 on conclut que Donc pour tout n
, On a donc
Il nous reste à montrer que
On sait que la suite
On pose
On étudie cette fonction sur
g est dérivable sur
Grâce à la calculatrice, on constate que g s'annule entre 3,1 et 3,2.
On a g continue et dérivable sur
et il se trouve que 0
]-0,036;0,031[.D'après le théorème de la bijection on a
Je pense que ma solution est correcte, mais s'il ya une erreur, ce serait gentil de me signaler
re : Exercice de qualité : limite de suite Posté le 25-02-10 à 12:55
Posté le 25-02-10 à 12:55Posté par Eurotruck Eurotruck
Ah ! merci cailloux on peut vraiment tout trouver sur l'ile
J'avais fait une recherche sur ile pour voir si cet exo est déjà posté mais j'avais pas trouvé
Eurotruck EurotruckAh ! merci cailloux on peut vraiment tout trouver sur l'ile
J'avais fait une recherche sur ile pour voir si cet exo est déjà posté mais j'avais pas trouvé
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