logo

plan complexe et suites

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. » terminaleforum de terminale » nombres complexestopics traitant de nombres complexes » [tout]lister tous les topics de mathématiques

terminaleplan complexe et suites

#msg2851669 Posté le 29-01-10 à 17:44
Posté par Profilchoupinette choupinette

Bonjour
je fais un exercice en tant qu'entrainement mais je ne comprends pas comment il faut faire.

Voici l'énoncé :
Soit un nombre complexe non nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (Zn) de nombres complexes par :
Z0=0
Z'n+1)=*Zn+i.
On note Mn le point affixe de Zn.

1.a. Vérifier les égailtés suivantes
Z1=i.
Z2=(+1)i
Z3=(²++1)i
ça j'ai réussi à trouver

C'est à partir d'ici que je suis bloquée.

1.b. Démontrer que pour tout n positif ou nul :

Zn=((^n-1)i/(-1)

2. Montrer que Z4=0
3. Pour tout entier naturel n, exprimer Z(n+1) en fonction de Zn
4. Montrer que M(n+1) et l'image de Mn par la rotation dont on précisera l'angle et le centre.
5. On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que ^k=1
Démontrer que pour tout entier natureln, on a l'égalité Z(n+k)=Zn
6. Réciproquement, montrer que s'il existe un entier naturel non nul k tel que pour tout entier naturel n, on ait l'égalité Z(n+k)=Zn alors ^k=1.


Merci pour votre aide.
re : plan complexe et suites#msg2851682 Posté le 29-01-10 à 17:54
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bonjour,

1)b) Tu peux démontrer par récurrence que:

z_n=(\lambda^{n-1}+\cdots+\lambda +1)i

et la somme de la parenthèse est la somme de n termes consécutifs d' une suite géométrique de raison \lambda

Pour la suite tu as du oublier quelque chose:

\lambda est probablement un complex de module 1 et différent de 1...

plan complexe et suites#msg2851688 Posté le 29-01-10 à 17:56
Posté par Profilskandour skandour

slt!
par récurrence! tu supposes vraie la proposition pour n et tu montres qu'elle l'est pour n+1!
re : plan complexe et suites#msg2851691 Posté le 29-01-10 à 17:56
Posté par Profilveleda veleda

bonsoir,
tu fais une récurrence
*la formule est vérifiée pour n=0
**tu supposes qu'elle est exacte à un certain rang n et tu montres qu'elle est exacte au rang n+1
re : plan complexe et suites#msg2851693 Posté le 29-01-10 à 17:58
Posté par Profilveleda veleda

on se bouscule
plan complexe et suites#msg2851821 Posté le 29-01-10 à 19:07
Posté par Profilchoupinette choupinette

Excusez moi mais je ne comprends pas
re : plan complexe et suites#msg2851995 Posté le 29-01-10 à 20:43
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Plutôt que de suivre mes indications, il est plus immédiat de suivre celles de veleda:

La propriété P_n: pour tout n\in\mathbb{N}, z_n=\frac{\lambda^n-1}{\lambda -1}i

L' initialisation: on a bien z_0=0=\frac{\lambda^0-1}{\lambda -1}i

L' hérédité: Si z_n=\frac{\lambda^n-1}{\lambda -1}i pour un certain rang n fixé, alors:

z_{n+1}=\lambda z_n+i=\frac{\lambda (\lambda^n-1)}{\lambda -1}i+i= \frac{\lambda^{n+1}-1}{\lambda -1}i

et l' hérédité est prouvée.

plan complexe et suites#msg2853475 Posté le 30-01-10 à 18:23
Posté par Profilchoupinette choupinette

J'ai compris pourquoi j'avais faux. Je partais d'une mauvaise expression pour Zn+1.

Comment faites vous pour la suite ?
re : plan complexe et suites#msg2853663 Posté le 30-01-10 à 19:26
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Citation :
2. Montrer que Z4=0


En général, pour \lambda quelconque, ce n' est pas vrai; c' est pourquoi j' avais fait la remarque suivante à 17h54:

Citation :
Pour la suite tu as du oublier quelque chose:

\lambda est probablement un complexe de module 1 et différent de 1...


Plus précisément, je verrais bien \lambda =i pour les questions suivantes.

Est-ce le cas ?

plan complexe et suites#msg2855615 Posté le 31-01-10 à 16:47
Posté par Profilchoupinette choupinette

est bien différent de 1 mais on ne dit pas que c'est un complexe de module 1.
En remplaçant par i on trouve bien Z4=0.

Pour la 3eme question, mon résultat n'est pas possible. que trouvez-vous ?? afin que je puisse chercher mon erreur svp
re : plan complexe et suites#msg2855627 Posté le 31-01-10 à 16:51
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Je me tue à te dire qu' il manque quelque chose dans ton énoncé.

On doit te donner une valeur particulière pour \lambda à partir de la question 2)

Quelle est-elle ?

plan complexe et suites#msg2855887 Posté le 31-01-10 à 17:52
Posté par Profilchoupinette choupinette

on dit que =i
re : plan complexe et suites#msg2855958 Posté le 31-01-10 à 18:09
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bon, alors:

3) z_{n+1}=iz_n+i

4)On est donc amené à étudier la transformation d' écriture complexe:

z'=iz+i

C' est une rotation d' angle Arg(i)=\frac{\pi}{2}\;\;[2\pi]

Son centre est le point invariant dont l' affixe est solution de l' équation z'=z:

z(1-i)=i

z=\frac{i}{1-i}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i

5) si \lambda^k=1 alors:

et z_{n+k}=\frac{\lambda^{n+k}-1}{\lambda -1}i=\frac{\lambda^n-1}{\lambda -1}i=z_n

6) si pour tout n, z_{n+k}=z_n, alors:

\left(\frac{\lambda^{n+k}-1}{\lambda -1}-\frac{\lambda^{n}-1}{\lambda -1}\right)i=0

avec \lambda\not=1:

\lambda^n (\lambda^k-1)=0

donc \lambda ^k=1 puisque \lambda est non nul.

plan complexe et suites#msg2855983 Posté le 31-01-10 à 18:16
Posté par Profilchoupinette choupinette

Waouh ! merci pour toutes ces réponses ! Ce n'est pas tant les réponses que je cherchais mais les explications. Enfin, je vais chercher pour trouver les mêmes résultats que toi.

Merci
re : plan complexe et suites#msg4004760 Posté le 30-01-12 à 23:28
Posté par Profilemilieeee emilieeee

j'ai une petite question pour ce topic :/

je ne comprends pas la réponse à la question 4/ car pour moi une rotation est de formule z'=e^(téta) (z-w)+w ou w est le milieu de cette rotation. Or ici z'= i(zn + 1) alors pourquoi c'est une rotation ??

Merci d'avance
re : plan complexe et suites#msg4005001 Posté le 31-01-12 à 12:22
Posté par Profilveleda veleda

bonjour,
tu veux dire le centre W
tu cherches s'il y a un point :
z'=z<=>z=i(z+1)soit z(1-i)=i donc z=\frac{i}{1-i}=\frac{i(i+1)}{2}=\frac{i-1}{2}est invariant
tu vérifies que z' se met bien sous la forme que tu rappelle en prenant pour \frac{i-1}{2}

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

    * nombres complexes en terminale
    1 fiches de mathématiques sur "nombres complexes" en terminale disponibles.
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. » terminaleforum de terminale » nombres complexestopics traitant de nombres complexes » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil   favoris  imprimer
maths - prof de maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2012