partie convexe

Posté par nel59 nel59

Bonjour, j'ai un petit souci pour démontrer ceci :

Soit S une partie de E un espace vectoriel euclidien stable par demi-somme, c'est à dire (x,y) E² , (x+y)/2 S.
Si S est en outre fermée, montrer que S est convexe.

Je rappelle la définitoin de convexité : (x,y)S², [0,1], x + (1-) y S

Pouvez-vous m'aider dans la démonstration svp?

Merci d'avance

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

En fait tu veux montrer que si x et y sont dans S alors le segment [x,y] est contenu dans S. Tu sais que le milieu (x+y)/2 y est. Avec un peu de récurrence tu montres que tous les points de la forme



avec n entier et k entier y sont aussi. Mais ceci forme une partie dense de S et comme S est fermé...

Tu peux aussi choisir comme dans la définition et l'écrire en base 2...

Posté par nel59 nel59

Désolé je ne comprends pas trop compliqué pour moi!
le x + (k(y-x))/ 2ⁿ je ne sais pas d'où il sort! , Yaurait-il pas d'autre moyen de le démontrer ?

Posté par nel59 nel59

Au fait c'est une question d'un sujet de CAPES externe donc je ne pense pas que sa soit si compliqué....
Je dis compliqué parce qu'il faut comprendre d'où ca vient le x + (k(y-x))/2ⁿ.

Posté par Camélia Camélia

Réfléchis un peu!

On a déjà dans S


Je rajoute les deux nouveaux milieux:



... et ainsi de suite!

C'est de la dichotomie!

Posté par kybjm kybjm

Soient S E vérifiant S + S S et (x,y) S² .
Tu montres que :
1.Pour tout n , S contient K(n) = {x + k.2^-n(y - x) | 0 k 2ⁿ}.
2.K = _n K(n) est dense dans [x , y]
3.[x , y] est fermé dans E .