Topologie-compacité

Posté par sambgoree sambgoree

Bonjour
Pouvez-vous me donner un coup de pouce s'il vous plait, merci.
Question: Le sous-ensemble   est-elle compact dans .
étant la topologie sur engendrée par les intervalles de la forme [a,b[ avec

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

OUI

Un voisinage ouvert de {0} contient un intervalle de la forme [0,b[ et il existe m tem que pour n > m, 1\n soit dans [0,b[. Tu finis soit en disant que la suite converge vers 0 pour cette topologie et c'est toujours vrai que dans un séparé (à propos, tu as vérifié que c'est séparé?) une suite convergente et sa limite forment un compact, ou bien tu reviens à Borel-Lebesgue.

En revanche la réponse est non pour la opologie engendrée par les ]a,b]

Posté par sambgoree sambgoree

Oui j'ai bien compris la démonstration et je pense l'avoir déja rencontré,
par contre là y'a un truc que je comprend pas! (car je pensé que la réponse étais Non!)
En fait je m'étais mis "dans" la tête que les intervalles de la forme ]a,b] sont inclus dans en remarquant que (OUBIEN JE ME TROMPE??)

Posté par Camélia Camélia

Oui, tu te trompes! La réunion que tu écris vaut ]a,b[

Posté par rhomari rhomari

c est [a,b] n est ce pas , si il parle des intersections  ( a et b st dans tout les intervalles) alors que pour la réunion c est [a-1,b+1[

Posté par sambgoree sambgoree

Oui merci camélia je comprend now!.......par contre rhomari je saisi pas ce que tu veux dire!
Au passage vous n'aurez pas une idée pour détérminer les sous ensembles connexes de merci d'avance.

Posté par sambgoree sambgoree

C'est bon rhomari j'ai saisi merci!

Posté par kybjm kybjm

Les connexes pour la topologie T dont la classe des ouverts est engendrée par l'ensemble des intervalles [a , b[ :

1.Tout ouvert de (pour sa topologie usuelle ) est T-ouvert :
En effet la classe des ouverts de est engendrée par les ]a , b[ ( a < b )
Or si a < b on a : ]a , b[ = { [c , b[  | a < c < b } , ce qui montre que ]a , b[ est T-ouvert

2.Si X , non vide , n'est pas un intervalle alors X n'est pas T-connexe .  
En effet si X , non vide , n'est pas un intervalle  on peut trouver x X , y X et z ]x , y[ tel que z X.   ]- , z[ et ]z , +[ sont des T-ouverts disjoints non vides dont la réunion contient X . X n'est donc pas T-connexe .

3. Les intervalles [a , b[ (a < b) ne sont pas T-connexes .  ( [a , b[ = [a , c[   [c , b[ pour c [a , b[  ).
4.. Les intervalles [a , +[  ne sont pas T-connexes . (preuve analogue)

4.Les intervalles ]a , b] ( a < b) ne sont pas T-connexes . En effet ]- , b[ et [b , +[ sont des T-ouverts disjoints non vides dont la réunion contient ]a , b ]

5.Les intervalles ]- , b]  ne sont pas T-connexes .(preuve analogue à la précédente)

5.Les intervalles ouverts ne sont past connexes. ( Si U est un  intervalle ouvert de et x U on a :  U ]- , x[ [x , +[  )

Les T-connexes de sont donc les singletons

Posté par sambgoree sambgoree

Grand merci à toi kybjm,
par contre à partir de 4. concernant les intervalles ]a,b] je bloque!
car le fait que ]a,b] soit inclus dans ]-,b[[b,+[ suffit-il pour dire que ]a,b] n'est pas T-connexe?
ça me fait cogiter (car je pensais qu'il fallait trouver une égalité entre ]a,b] et deux ouverts disjoints non vide?!)

Posté par kybjm kybjm

Soient E un espace topologique et A une partie de E .

Si V et W sont des ouverts de E tels que A V W et si A V , A W , A V   W alors A n'est pas connexe :

A V et  A W sont deux ouverts de A , non vides disjoints de réunion A . Donc le sous espace topologique A n'est pas connexe .(En abbrégé on dit que A n'est pas connexe )

Dans ton exo : {b} est un T-ouvert de ]a , b] et ]a , b[ est T-ouvert (dans )donc est un T-ouvert de ]a , b] .

Posté par sambgoree sambgoree

C'est trés clair kybjm!
Mes remerciements les plus distingués.