Losange, parallélogramme ou jsute diminution ?

Posté par landes7640 landes7640

J'ai un dm de maths à faire pour Mardi mais je suis bloqué à une question ... Pourriez-vous m'aider ?

Voici l'exo:

I) Dessinez 3 quadrilatères quelconques, marquez pour chaque quadrilatère le milieu de chacun des 4 cotés et racez un quadrilatère non-croisé reliant ces 4 milieux. Quelle conjecture peut-on alors énoncer.

II) PROUVEZ VOTRE CONJECTURE:
         ABCD est un quadrilatère quelconque ( AB= 6 cm et BC=3cm) I;J;K,L désignent le milieux respectifs des cotés [AB], [BC], [CD] et [DA].

a) Faites la figure
b) Enoncez pour cette figure la conjecture
c) En n'utilisant que 2 vecteurs et la propriété de la droite des mileux, prouvez votre conjecture.



Donc moi j'ai conjecturer plusieur choses:

1 IJKL est un losange
2 IJKL est un parallélogramme
3 IJKL est une diminition par x de ABCD

Mais je ne sais pas laquelle est bonne et surtout comment la prouver sachant que la droité des milieux s'exécute avec un triangle ...

Merci d'avance pour votre aide !! =)

Posté par dhalte dhalte

Un losange ? Peut-être dans certains cas particuliers, mais pas dans le cas général.

C'est quoi une diminution ?

Non, ce que tu obtiens toujours, quelle que soit la position des quatre sommets du quadrilatère, c'est un parallélogramme.

Posté par landes7640 landes7640

Merci pour votre aide dhalte alors une diminution (selon mon professeur de maths) c'est une figure idem à celle de départ mais en plus petit (soit 2 fois plus petit ou autre). Sinon je me base aussi sur la conjecture d'un parrallélogramme mais maintenat comme le prouvez ?? là est le problème !!??

Posté par dhalte dhalte

Ce que tu appelles une diminution est plus généralement appelé une homothétie.

Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux cotés est parallèle au troisième coté.

A toi de choisir dans le quadrilatère ABCD les bons triangles pour montrer que les cotés du quadrilatère IJKL sont parallèles deux à deux, ce qui en fait un parallélogramme.

Posté par rene38 rene38

Bonsoir
Trace une diagonale de ton quadrilatère de départ : des triangles vont apparaître.

Posté par landes7640 landes7640

J'ai effectué une diagonale sur mon quadrilatère de départ et il m'apparait bien 2 triangles rectangle ABC et ADC seulement moi je veux prouver que le quadrilatére IJKL est un parallélogramme ...en utilisant aussi 2 vecteurs. ... je ne comprend pas le mélange droite des milieux et vecteurs ...

Posté par landes7640 landes7640

Merci aussi pour ton aide seulemnt la figure que tu me propose est un quadrilatère croisé ! Moi je n'ai pas ça du tout mais plutot la figure suivante sachant que j'ai les points I J K L milieux respectif de AB BC CD et DA .

Posté par dhalte dhalte

Le quadrilatère de départ est quelconque. C'est IJKL que tu dois construire pour qu'il ne soit pas croisé.

Et pour cela, il faut que les milieux soient pris sur les cotés consécutifs.


Montre donc que IJ et // à AC et aussi KL, ainsi par transitivité, tu auras montré que IJ est // à KL.

Tu fais la même chose pour les deux autres cotés et le tour est joué.

Attention : quand on te demande de faire une conjecture, tu dois prendre les cas les plus différents possibles. Si tu te contente de prendre ABCD rectangle, c'est sur que tu vas croire que IJKL est un losange. Mais ce n'est plus vrai dès que ABCD n'est pas rectangle.

Posté par landes7640 landes7640

Vu sous cet angle il est vrai qu'il est plus facile ... MERCI beaucoup
je vais travaillé dessus alors

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Je pense plus pour le parallélogramme si ca peut t'aider ^^

Posté par landes7640 landes7640

J'ai travaillé sur lexo selon la façon que vous m'avez dit et cela marche.

"Tu fais la même chose pour les deux autres cotés et le tour est joué." Je n'ai pas besoin que faire la meme chose avec les 2 autres cotés car un parallélogramme est un quadrilatère qui à de cotés  parallèles et de meme longueurs... Seulement je ne peux pas calculer les cotés (aucune coordonnées) et il ne suffit pas de dire qu'il à 4 cotés de parallèles  2 à 2 car le rectangle à aussi ses 4 cotés parallèles 2 à 2 ... ???

Posté par dhalte dhalte

Le rectangle est donc un parallélogramme particulier. Tu viens d'inventer l'eau tiède.

Et pour répondre à ta suggestion


il te reste effectivement à montrer que IJ et KL ont même longueur, mais c'est moins joli, car la propriété que tu veux utiliser "de meme longueurs", si elle est équivalente, n'est qu'une conséquence de la définition du parallélogramme.

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Je pense que le mieux ce serait montrer que les vecteurs et ne sont pas orthogonaux .

Posté par dhalte dhalte

FouxxXxxe : stop. Ca n'a rien à voir avec le fait que IJKL est un parallélogramme.

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Bah ce n'est pas dur de montrer que IJ et KL ont même longueur grâce à la propriété de la droite des milieux.

'' Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
La longueur du segment qui joint ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.'' ( Source )

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Bah désolé mais si les diagonales ne sont pas perpendiculaires et que les cotés sont 2 à 2 parallèles alors ce n'est pas un losange

Posté par landes7640 landes7640

Bravo FouxxXxxe   j'étais exactement sur le meme site que toi et j'étais en train de penser à cette solution ... qu'en pense dhalte ??

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Il est en train de réfléchir à comment il va pouvoir me crier dessus :p

Posté par landes7640 landes7640

IJ  parallèle à AC selon droite des milieux
Lk parallèle à AC selon droite des mileux

DONC  IJ ET LK sont //.

De plus IJ= la moitié de AC
        LK= la moitié de AC

DONC IJ ET LK SONT DE MEME LONGEUR

Par conséquent le quadrilatère IJKL à 2 cotés // et de meme longeurs donc IJKL est un parallélogramme.


Je pense que celà est bon ! ?

Posté par landes7640 landes7640

EH non fouxxXxx mais dhalte est déconnecté =) tu as la peau sauve !

Posté par dhalte dhalte

Je reviens à vous.

Non, FouxxXxxe, je n'ai pas crié. Tu l'aurais entendu, si c'avait été le cas
Susceptible ?


Pour landes, c'est bon, mais comme je le disais, tu aurais pu utiliser le même argument de droites parallèles pour obtenir JK et IL parallèles à BD.

En fait je préfère cette solution car elle est aussi plus symétrique.

Mais ton argument est recevable, bien sur.

Posté par landes7640 landes7640

Entendu, j'ai parfaitement compris , merci à vous 2 pour votre aide et vos réponse très rapide ! Bonne soirée à vous 2 et bon week end   

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Un losange à ses cotés 2 à 2 parallèles et de même longueur

Posté par FouxxXxxe FouxxXxxe

Mais un losange est un parallélogramme particulier -,-'   Désolé pour ce post inutile

Posté par dhalte dhalte

Exact, et un carré, qui est un losange en même temps qu'un rectangle, est aussi un parallélogramme (cumulard, va).

Simplement, quand tu voulais montrer que les vecteurs n'étaient pas perpendiculaires, tu voulais peut-être montrer que IJKL n'était pas un losange. D'abord il existe des cas particuliers de quadrilatères ABCD pour lesquels IJKL sera un losange. Et ensuite cela n'aurait pas montré que IJKL était un parallélogramme.

Posté par dhalte dhalte

Oups, je l'avais pas lue, celle-là :


Absolument faux.

Un losange est un parallélogramme dont les diagonales se coupent à angle droit. Si en plus elles sont de même longueur, alors le losange est aussi un carré.