Enigmo 177 : Une petite équation

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

je propose les 4 solutions suivantes:
où


Voici une preuve:

Tout d'abord on remarque que x est nécessairement positif. D'autre part, 3x^2 doit etre entier. Donc . A présent il reste à chercher l'ensemble des k entiers pour lesquels x est solution. Pour cela, on remarque que

Or le polynome   est strictement positif dès que .
On cherche donc les valeurs de k dans l'intervalle {0..3*144}.
Une recherche exhaustive permet de conclure.

Merci pour l'énigme,
1emeu

Posté par jada jada

alors
pour les valeurs négatives de x le polynôme sera toujours strictement positif, donc IR- est à éliminer.

ensuite il faut résonner sur E(x)
en effet pour E(x) >= 11 on a 3x² + 47 = 410 > 35 E(x) = 385, donc au delà de 11 c'est à éliminer aussi.
il nous reste les valeurs de E(x) comprises entre 1 et 10
il faut procéder au calcul valeur par valeur, x= racine ( (35E(x) - 47)/3)? si on trouve un valeur de x qui correspond à la partie entière que nous avons alors c'est une solution.

E(x)=2    ---->  x= racine (23/3)
E(x)=8    ---->  x= racine (233/3)
E(x)=9    ---->  x= racine (268/3)
E(x)=10   ---->  x= racine (101)

Posté par Nikos59 Nikos59

Les solutions de l'équation 3x²-35.E(x)+47 = 0 sont

x=2,76887462097269
x=8,81286937760152
x=9,45163125250522
x=10,0498756211209
                     ______________
On doit résoudre x= V(35.E(X)-47)/3

pas de solution négative car E(x)>=2

soit x>12
(3x²+47)/35 >13.685  => E(X)>13.85 donc >=13
les solutions possibles se situent sur l'intervalle [2;12]

Informatiquement; une petite macro peut nous aider:
i = 1
For n = 2 To 12

If Int(((35 * n - 47) / 3) ^ 0.5) = n Then
Range("A" & i).Select
ActiveCell.Value = ((35 * n - 47) / 3) ^ 0.5
i = i + 1
End If
Next

Je pense qu'il y a une solution plus raffinée mais je ne suis pas spécialiste.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Ce n'est pas une équation du second degré car x²-35E(x)+47 n'est pas un polynôme du second degré, la preuve l'équation x²-35E(x)+47=0 admet 4 solutions (tandis qu'un polynôme de degré 2 a au plus 2 racines).

Pour la résoudre on peut se servir des enveloppes x²-35x+47 et x²-35(x-1)+47, et à l'intérieur on a des portions de paraboles sur chaque intervalle [n,n+1[. Après quelques petites études de fonctions on trouve comme solutions :

Posté par veleda veleda

bonjour jamo,
merci pour cet exercice intéressant
je trouve 4 solutions

j'espère ne pas  m'être trompée

j'ai utilisé le fait que
cela permet d'écrire sauf erreur de ma part que Z=E(X) vérifie
(1)3Z²-35z+470
(2)3Z²-29Z+50>0
ce qui donne E(X){2,8,9,10}

bon dimanche

Posté par jw_dagon jw_dagon

Bonsoir,

Je trouve quatre solutions, dont voici les valeurs exactes (en image, désolé mais je n'arrive pas à me servir correctement des polices mathématiques du post).

Merci pour l'enigme.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Bonne participation pour cette énigme mathématique.

Il y a en effet 4 solutions à cette équation, je vous laisse lire les diverses explications fournies par plusieurs participants.

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

il va quand même falloir que j'apprenne à taper correctement sur un clavier !!!! (223 à la place de 233)

Pas grave, le problème était intéressant Jamo

amicalement

MM

Posté par xtreboul xtreboul

Je dis bravo à : godefroy_lehardi
pour l'elegance de sa methode!