partie non vide et fermée d'un espace vectoriel euclidien

Posté par nel59 nel59

Bonjour, je souhaiterais savoir si une partie non vide et fermée d'un espace vectoriel euclidien admet toujours une borne inférieure ? sinon pourquoi?

En gros je dois montrer que si C est une partie non vide et fermée de E, pour tout a appartenant à E, il exisye un élément b de C tel que ||b-a|| = d(a;C) où d(a;C) = inf {||a-c||; c appartenant à C}

Je souhaiterais poser B = inf C mais je sais pas si je peux....
Pouvez-vous maider?!
Merci d'avance

Posté par rhomari rhomari

tu peut considérer ]-,0] qui est bien fermé dans lR

Posté par nel59 nel59

J'ai oublié de préciser que R est de dimansion n

Posté par nel59 nel59

E = Rⁿ , je peux alors poser b = inf C ??

Posté par rhomari rhomari

que veut dire inf dans IR ⁿ

Posté par nel59 nel59

Je parle de la borne inférieure d'une partie fermée et non vide de Rⁿ! Il n'existe pas toujours ?

Posté par nel59 nel59

Je ne comprends pas!, comme il faut que || b-a || = inf { || a - c || ; c appartenant à C }, b doit etre égale à l'inf de C non ?

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

Quand on parle de borne inférieure, c'est par rapport à une relation d'ordre.
Donc, présentée comme ça, ta question n'a pas de sens.

Tu cherches à montrer qu'il existe b tel que .
Avant d'aller plus loin, il faudrait que tu comprennes ce que ça signifie : on cherche un point b de l'ensemble C (il n'est pas supposé convexe ?) qui est à distance minimale de a.
C'est ce que signifie ton énoncé.

Alors, parler de n'a pas beaucoup de sens, et quand bien même il y en aurait un, ça ne t'avancerai pas beaucoup ...

Posté par nel59 nel59

ok Arkhnor, mais comment le trouver?!

J'ai une petite indication, dans une question précédente, j'ai du montrer qu'il existait une boule fermée de centre a ( avec a E) et de rayon r >0 noté B_F(a,r) telle que B_F(a,r) C où C est une partie de E, ca peut m'aider non?

Si B_F(a,r) C , alors il existe un élément dedans par exemple x donc || a-x|| r et x appartient à C mais apres je suis bloqué ...

Posté par nel59 nel59

Non C n'est pas supposé convexe pour l'instant....

Posté par nel59 nel59

On suppose juste que C est non vide et fermée....je n'arrive pas pouvez-vous m'aider ?!

Posté par nel59 nel59

Comme C est non vide et fermée alors il existe un élement b appartenant à ladhérence de C et comme on a montrer qu'il existait une boule fermée qui intersecté C, alors..... je sais pas aidez-moi  svp

Posté par rhomari rhomari

d=d(a,C)=inf {||a-c||; c appartenant à C}
n de IN | ||a-c_n|| -d |1/n montre que est de cauchy puis deduire qu elle est conv sa xlimite est necesairement dans C

Posté par nel59 nel59

Mais Rⁿ est complet , la suite c_n converge et comme C est fermé la limite est dans C, c'est ca ?
Ya -t-il pas une autre facon?!

Posté par Arkhnor Arkhnor

Pour montrer que la suite est de Cauchy, il faudrait que C soit convexe, or il ne l'est pas.

Mais on peut s'y prendre autrement, vu qu'on est en dimension finie.
Tu connais les propriétés des compacts ? (fermés et bornés)
Si oui, remarque que l'intersection suggérée par l'énoncé est un compact, et que l'on cherche ici à minimiser une certaine fonction sur ce compact.

Posté par nel59 nel59

oui... mais je n'arrive toujours pas à trouver....

Posté par Arkhnor Arkhnor

J'appelle qui est un compact.
Es-tu d'accord avec l'égalité ?

Ensuite, vois-tu comment montrer qu'il existe tel que ?
Indication : on cherche à minimiser une fonction continue sur un compact, tu disposes d'un théorème pour ça.

Posté par nel59 nel59

oui je suis daccord avec la premiere egalité mais quel est le théorème en question svp? car je ne vois pas de fonction à utiliser là

Posté par rhomari rhomari

C soit convexe?
dans IR ⁿ qui est normé on peut parler d  une suite de cauchy dans converge dans IR ⁿ et puisque est fermé alors la limite est dans l adherance de cdonc dans C car il est fermée

Posté par rhomari rhomari

C soit convexe?
dans IR ⁿ qui est normé on peut parler d  une suite de cauchy danc converge dans IR ⁿ et puisque  la limite est dans l adherance de C donc dans C car il est fermée

Posté par nel59 nel59

Quelle est la suite de cauchy que vous parler ? c_n? jcomprend pas comment on peut montrer qu'elle est de cuachy sans svaoir de qu'elle forme elle est?!
Je sais que dans un fermé toute suite convergente de E a sa limite dans ce fermé mais ca me dit toujours pas comment je trouve mon b! désolé je n'y arrive toujours pas malgrès le coup de main... il faut que vous sayez plus percis car je comprend le problème mais je n'arrive pas à le rédiger...

Posté par Arkhnor Arkhnor

rhomari, si n'est pas supposé convexe, on ne pourra pas démontrer que la suite que tu proposes est de Cauchy, tout simplement parce qu'il peut exister plusieurs points vérifiant la condition.

Ma méthode, qui est celle suggérée par l'énoncé, fonctionne.
nel59, une fonction continue sur un compact, à valeurs réelles, est bornée, et atteint ses bornes.
C'est de ce théorème dont je parle, si tu ne le connais pas, on risque d'être coincé ...

Posté par rhomari rhomari

est dans B(a,d+1) qui compact donc une ss suite convergente....

Posté par Arkhnor Arkhnor

Oui, ça revient à démontrer le théorème dont je parlais.
On prend une suite qui minimise la norme, et on extrait une sous-suite convergente, ce qui exactement la démonstration où l'on cherche à minimiser une fonction continue sur un compact métrique.