Densité (topologie de Rn)

Posté par pablitom94 pablitom94

Bonjour, j'ai un exercice qui traite de la notion de densité. Cette dernière est définie dans l'énoncé comme ceci: "Une partie A de Rn est dense dans Rn si pour tout x de Rn et pour tout >0, il existe a appartenant à A tel que x appartient à B(a,)."
Dans un premier temps j'ai démontrer que cette propriété est équivalente à la propriété suivante: "pour tout xRn et pour tout >0, B(x,)A n'est pas vide."
Je dois maintenant démontrer que le plus petit ensemble fermé de Rn contenant A est Rn.
J'ai pris pour hypothèse: pour tout xRn et pour tout >0, B(x,)A n'est pas vide.
J'ai créé un ensemble fermé X plus petit que Rn.
Je veux montrer que l'on obtient: A n'est pas inclue dans X.
C'est là que je bloque.
Quelqu'un peut-il m'aider?

Posté par kybjm kybjm

Soit F un fermé contenant A et suppose un instant que F soit différent de ⁿLe complémentaire U de F est dobc non vide et ouvert .
Si a U on peut donc trouver r > 0 tel que BO(x,r) U . Or BO(x,r)rencontre  A donc F et c'est largement contradictoire

Posté par pablitom94 pablitom94

Effectivement la démonstration est bien plus efficace comme tu l'as fait kybjm. Je te remercie.
Je dois maintenant montrer la réciproque.
  Pour cela, j'ai créé x appartenant à Rn, puis >0.
  Je veux montrer qu'on obtient non vide en ayant pour hypothèse que Rn
  est le plus petit fermé de Rn contenant A.
Auriez-vous une piste?

Posté par kybjm kybjm

Pourquoi se compliquer l'existence :

Supposons que A ne soit pas dense dans ⁿ. Il existe donc un élément y ⁿ et r > 0 tels que BO(y , r) A = .
G = ⁿ \  BO(y , r) contient donc A et comme il est fermé  ,ⁿ n'est donc pas le plus petit fermé contenant A .

Par contraposition ...