Topologie

Posté par Shouhai Shouhai

Bonjour, j'ai un petit soucis avec cet exo de topo, ça fait longtemps que je n'en avais pas fait...

Soit (X,d) un espace métrique On note pour tout x X et toutes parties A et B non vides de X :
µ(A,B)= inf{d(a,b),aA et bB}

Montrer que µ ne définit pas une distance sur l'ensemble des parties de X

Je veux donc montrer que µ(A,B)=0 n'est pas équivalent à A=B. Je pensais que le plus simple était de partir d'un certain A et un certain B tels que A=B mais que µ(A,B)0

Mais je n'y arrives pas. Quelqu'un peut m'aider svp ?

Merci d'avance !

Posté par verdurin verdurin

Bonsoir.

Tu ne risques pas d'y arriver :
d'après la définition si AB alors (A,B)=0 car si xAB on a (A,B)d(x,x)=0.


Mais en utilisant cette propriété  on peut trouver A B et C tels que (A,B)=0 (B,C)=0 et (A,C)=0. Ce qui contredit l'inégalité triangulaire.

Posté par Shouhai Shouhai

En effet je savais bien qu'il y avait quelque chose qui n'allait pas ! Merci.
Dans ce cas, dire ça c'est faux ? :

d(a,c)<d(a,b)+d(b,c) => inf{d(a,c) aA,cC}<inf{d(a,b) aA et bB} + inf{d(b,c) bB,cC}

Posté par romu romu

Bonjour,

pour chercher ton contre-exemple, tu peux regarder dans un espace métrique simple comme muni de sa métrique habituelle,
et prendre pour les parties des intervalles fermés bornés bien choisis.  Pour de telles parties est facile à calculer.

Posté par Shouhai Shouhai

En effet c'est aussi une possibilité, merci !

J'ai avancé un peu dans l'exo et je bloque de nouveau -_-'
On définit un nouvel objet : (x,A)=inf{d(x,a) : aA} avec x dans X fixé.

J'ai montré que pour tout >0 (A,B)(x,A)+(x,B)+2
Puis j'en déduit que (A,B)inf{(x,A)+(x,B) : xX}

Maintenant on me demande de justifier que (A,B)=inf{(a,A)+(a,B) : aA}
C'est ça qui me pose problème, en effet pour moi (a,A)=0 ce qui reviendrais donc à montrer que (a,B)=(A,B). Mais je trouve ça bizarre.

Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer encore une fois ? Merci !

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

C'est vrai que pour tout a dans A. Tu dois donc montrer que

Posté par Shouhai Shouhai

Oui j'avais fini par réussir !

Merci à tous en tout cas !

Posté par otto otto

Pour montrer que c'est pas une distance il suffit de prendre A strictement inclus dans B et la distance est 0...