intégration

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

Le but de cet exercice est de trouver un encadrement de l'intégrale I= .

f est la fonction définie sur (0; 1/2) par f(x)=1/(1+x^2) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1)a) Développer (1+x^2)(1-x^2+x^4)
     ( = 1 - x^2 + x^4 + x^2 - x^4 + x^8= x^8 + 1. Je ne suis pas sure)
  b) En déduire que pour tout réel x, 1-x^2 + x^4 1/(1+x^2)

2) On note A et B les points de la courbe C d'abscisses respectives 0 et 1/2.
  a) Montrer que pour tout x de (0;1/2), 1/(1+x^2) 1 - 2x/5
  b) En déduire la position de la courbe C et du segment (AB)

3)On pose J= et K=
  a) Démontrer que KIJ.
  b) Déterminer la valeur exacte de K.
  c) On donne = - 17/480
     En déduire la valeur exacte de J.
  d) Donner un encadrement de I.

Posté par Simpom Simpom

Salut (oui ça se fait de dire bonjour...).

Ta 1.a est juste. Qu'as-tu fait pour la b ?

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

Salut

Pour la 1.b) Je suis bloqué. J'ai fait:

(1+x^2)(1-x^2+x^4)= x^8 + 1
1-x^2+x^4 = (x^8 + 1)/(1+x^2)
et après je ne sais pas comment faire.

Posté par Simpom Simpom

Comme 8 est pair, quel que soit x, , donc .
Donc
Et là tu peux diviser par .

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

merci j'ai compris.

Par contre je ne sais pas du tout comment faire pour la question 2...

Posté par ptitjean ptitjean

La première question est fausse.
x^4 par x^2, ca donne x^6 et non x^8

Pour la question 2, essaie de montrer que 1/(1+x^2)-(1-2x/5) est positif
Met au même dénominateur 1+x² qui est positif, et étudie le signe du numérateur.

Pour la 2b, quelle est l'équation de la droite (AB) ?
Ca devrait te mettre sur la voie

Ptitjean

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

désolé mais je ne comprend pas

Posté par ptitjean ptitjean

Tu pourrais être un tout petit peu plus précis que ça dans tes commentaires si tu veux une vraie aide

Reprenons depuis le début.
et non x⁸

Donc pour la question 1a, tu dois trouver x⁶+1

Tu es d'accord ?

Pour la question 2a, on te demande de montrer que pour x dans [0 ; 1/2], on a


Je te propose de regarder

En mettant au même dénominateur et en simplifiant, on obtient


Sur l'intervalle [0 ; 1/2], la partie est clairement positive. Le signe de h(x) dépend donc du signe de

Quel est donc le signe de cette partie ? Je te conseille de regarder sur [0;2/5] puis [2/5;1/2]

Ptitjean

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

2x^2/5 sera toujours positif dans l'intervalle (0, 1/2)
-x + 2/5 sera positif dans l'intervalle (0, 2/5) et négatif dans l'intervalle (2/5, 1/2)

donc h(x) sera négatif dans l'intervalle (0; 2/5) et il sera positif dans l'intervalle (2/5; 1/2)

?

je ne vois pas comment on peut répondre à la question de cette manière...

Posté par ptitjean ptitjean

Fais des encadrements !

sur [0;2/5], clairement tout est positif, donc h(x) est positif.

Sur [2/5;1/2], encadre chaque terme et montre que c'est positif aussi !

Ptitjean

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

je suis désolé mais je ne voit pas à quoi tu veux arriver pas là.
Je ne comprends pas ta façon de faire...
Je n'y arrive pas...

Posté par ptitjean ptitjean

Bon je viens de voir une autre possibilité plus facile et plus élégante

tu as un trinôme 2x²/5-x+2/5
Son discriminant est positif
Il est donc du signe de "a" à l'extérieur des racines
Trouves les racines du trinome et tu peux conclure

Ptitjean

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi il faut chercher le signe pour répondre à la question

Posté par ptitjean ptitjean

Si h(x) est positif, tu as alors



et donc



Et c'est ce qu'il te faut démontrer, non ?

Ptitjean

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

d'accord j'ai compris

mais alors tu le sort d'où le h(x)??

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

ok j'ai compris  pour la 2a) je vais essayer de la rédiger.

Comment je fais pour la suite?

Posté par ptitjean ptitjean

Salut,

j'espère que le week-end fut sympa.
pour la 2b), calcules l'équation de la droite (AB)
Ca devrait te donner des idées, vu l'inégalité démontrée en 2a

Ptitjean

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

salut,
non le week pas super.
J'en ai passé la plupart devant cet exercice, mais il n'y a rien à faire, je n'y arrive pas...
Comment on calcule l'équation de la droite (AB)?

Posté par ptitjean ptitjean

Les coordonnées de A et B sont respectivement (0;1) et (1/2;4/5)

Tu devrais connaître l'équation d'une droite passant par deux points ou du moins c'est dans ton cours !!

l'équation est de la forme y=mx+p, m et p étant des constantes à calculer
On notera que m est le coefficient directeur de la droite

la droite passant par A, on a forcément 1=m*0+p donc p=1.
Fais de même pour le point B et tu devrais avoir une deuxiéme équation te permettant de calculer m

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

la droite passant par B, on a forcément  4/5= m*1/2 + 1
                                         m= -2/5

donc l'équation de la droite (AB) est:
y= -2/5 x + 1

D'après la question 2a), on a :
Donc la courbe C est en dessous du segment (AB)

C'est sa?

Posté par ptitjean ptitjean

la courbe C est au dessus de (AB) (d'où le signe )

Mais c'était bon

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

pour le 3):

a) K correspond à la droite AB, et I correspond à C
   Donc on a KI
   Comment on fait pour montrer que JI?

Posté par ptitjean ptitjean

Regardes ce que tu as fais dans les questions précédentes, notamment en1b

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

ah... oui... j'avais oublié... ^^

après je pense y arriver, mais il me manque la question d que je ne sais pas faire...

Posté par ptitjean ptitjean

Si tu calcules J et K, tu peux en déduire un encadrement de I puisque K < I < J

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

merci beaucoup j'ai enfin fini cet exercice!!

pourrait-tu venir me donner un petit coup de main sur ce topic:
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-335138.html
c'est un autre exercices sur les intégrales.
Je ne comprend pas la première question ce qui m'empèche de faire le reste de l'exercice et la personne qui a commencé à m'aider ne m'aide plus...
merci d'avance!