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Posté le 06-02-10 à 17:41

Posté par lematheu

Bonjour, j'ai une petite demonstration à faire mais je bloque un peu:

Soit w un ouvert, soit

montrer que

w est un ouvert.

donc j'ai commencé à mettre la définition de l'ouvert:

soit a

soit r

*+ soit x

w
w=BO(a,r)=||x-a||<r

mais ensuite je vois pas trop comment faire..
merci de votre aide

re : ouvert

Posté le 06-02-10 à 17:46

Posté par Arkhnor

Bonsoir.

Ta définition est incorrecte, telle que tu l'as écrit, ça signifie que $\omega$ est une boule ouverte ...

La présence et l'ordre des quantificateurs a son importance !

Ensuite, tu écris $B(a,r) = ||x-a||$ , ce qui n'a aucun sens, le terme de gauche est un ensemble, et celui de droite un nombre !!

re : ouvert

Posté le 06-02-10 à 18:00

Posté par lematheu

ah c'est vrai ^^ j'essaye de corriger:

w est un ouvert dc quelque soit x

r>0 tq BO(x,r)

w

si je continue:

BO(x,r)

w (je suis pas sur du tout ^^ )

re : ouvert

Posté le 06-02-10 à 18:43

Posté par blang

Bonsoir

J'imagine qu'on se place dans un espace vectoriel normé et que $\lambda$ est un réel non nul ?

Soit $x \in \lambda W$ . Comme $W$ est ouvert, il existe $\epsilon >0$ tel que $B(\lambda^{-1}x;\epsilon |\lambda|^{-1}) \subset W$ . Essaye alors de prouver que $B(x,\epsilon) \subset \lambda W$ .

re : ouvert

Posté le 06-02-10 à 19:16

Posté par lolo271

Enfin si tu sais qu'une application est continue SSI l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert ça va assez vite.

re : ouvert

Posté le 06-02-10 à 19:41

Posté par lematheu

B(

^-1x;

|^-1)

W
donc

^-1x;

|^-1)

W

on passe le

à l'interieur et on a
B(x;

)

W

ca me semble trop rapide lol

re : ouvert

Posté le 07-02-10 à 08:27

Posté par blang

Soit $y \in B(x;\epsilon)$ . On a $||y-x||<\epsilon$ donc $||\lambda^{-1}y-\lambda^{-1}x||<|\lambda|^{-1}\epsilon$ . Or $B(\lambda^{-1}x;\epsilon%20|\lambda|^{-1})%20\subset%20W$ donc $\lambda^{-1}y \in W$ , c'est-à-dire $y \in \lambda W$ .

re : ouvert

Posté le 07-02-10 à 14:50

Posté par lematheu

merci

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