Montrer l'intersection d'une droite et un plan.

Posté par demi demi

Bonsoir,

ABCDEFGH est un cube et I et J sont les milieux des segments [EH] et [BF].
On souhaite montrer que l'intersection de (HJ) et (BGI) est le milieux M de [HJ].

On utilise une première méthode :
1. Montrer que les vecteurs MI, MB, MG sont coplanaires en utilisant un repère de l'espace adapté.
2. Conclure.

ET une deuxième méthode :
1. Montrer que (BGI) coupe le cube suivant le polygone BGIK où K est le milieu de [AE]
2. Montrer que KJGH est un parallélogramme.
3. Conclure.

Il faut donc utilisé les deux méthodes.
Pour la première, j'avais choisit le repère (A, AB, AD, AE) Mais quand je veux "décomposer" les vecteurs MI, MB, et MG, je n'y arrive pas car on ne sait pas où est M précisément ...

Merci de m'aider votre aide est indispensable.

Posté par rd407 rd407

bonjour
dans le repère choisi tu peux exprimer les coordonnées de tous les points de la figure, y compris M... puis calculer les vecteurs indiqués et vérifier que les points sont coplanaires.
bon courage
@+

Posté par Priam Priam

Première méthode : je pense qu'il faut déterminer graphiquement les coordonnées des trois vecteurs dans le but d'apercevoir une relation linéaire entre eux. Le trièdre (B; BC; BA; BF) serait peut-être plus commode (à cause du vecteur BM).

Deuxième méthode : cherche l'intersection de la droite GI avec le plan BAEF.

Posté par demi demi

D'accord. Pour l'instant je me concentre sur la première méthode .
Donc si je prend le repère (B; BC; BA; BF) :

MI = MF + FE + EI mais le problème c'est que je ne vois pas à quoi est égal MF ...
MB = MF + FB mais pareil pour MF
MG = MF + FE + EH + HG

Posté par Priam Priam

Non, il s'agit de déterminer les coordonnées des vecteurs dans ce trièdre de référence.

Posté par demi demi

Mais le trièdre c'est en fait un repère ?
Avant il faut décomposer le vecteur non ?
Je donne un exemple que l'on a fait en cours (mais pas en rapport avec le cube) :

Si on prend le repère (B;BI;BK;BJ)
AK = AB + BK
   = -2BI + BK
Donc AK (-2;1;0)    (c'est un exemple qui n'a rien à voir avec l'exercice mais c'est pour montrer qu'il fait bien décomposer le vecteur avant ...)

Posté par Priam Priam

D'accord. Il faut maintenant appliquer cela au problème présent.

On peut aussi chercher les coordonnées de l'origine et de l'extrémité de chaque vecteur, pour en déduire celles du vecteur .

Posté par demi demi

On peut pas faire comme j'ai expliqué ?
Parce que je ne vois comment on fait pour chercher les coordonnées de l'origine et des extrémités

Posté par Priam Priam

Par exemple, on peut déduire de la figure que les coordonnées de B sont (0; 0; 0) et celles de M sont (1/2; 1/2; 3/4).

Posté par demi demi

Mais on le sait pas que les M est à 1/2 de BC, 1/2 BA et 3/4 de BF.
Comment tu les as trouvé ces coordonnées on sait juste que M = 1/2 [HJ]
C'est ce qui me pose problème ...

Posté par Priam Priam

Si tu projettes JH sur le plan ABCD, à J correspond B et à H, D.

M, milieu de JH, se projette au point milieu de BD, dont l'abscisse (suivant le vecteur BC) est égale à 1/2. C'est donc aussi l'abscisse de M.

Posté par demi demi

D'accord alors pareil pour 1/2 qui est l'ordonnée de M car l'abscisse (suivant le vecteur BA) est égale à 1/2 si on projette JH sur (ABCD). C'est ça ?

Par contre je ne vois pas pourquoi la cote de M est 3/4

Posté par Priam Priam

Projette JH sur le plan BAEF et dessine ce carré à plat. Tu verras où se place le projeté de M.

Posté par demi demi

J se projette sur B et H sur E ? je suis pas convaincu de ma réponse
(j'ai vraiment trop de mal avec ces vecteurs)

Posté par Priam Priam

H sur E : oui. Mais J est déjà dans le plan BAEF; il reste à sa place.

Posté par demi demi

Mais je ne comprend pas : la longueur JE n'est pas égal à celle de JH ?

Posté par Priam Priam

Non, JE est la projeté de JH sur le plan BAEF.

As-tu fait une figure de cette face BAEF ?

Posté par demi demi

D'accord j'ai fait la figure.
Donc M (1/2; 1/2; 3/4)
     B (0;0;0)
     I (1/2; 1; 1)
     G (1;0;1)

Donc MB (-1/2; -1/2; -3:4)
     MI (0; 1/2; 1/4)
     MG (1/2; -1/2; 1/4)

C'est ça ?

Posté par demi demi

Voilà la figure :

Posté par demi demi

Donc maintenant il faut trouver MI = aMB + bMG.

Donc -1/2 = 0a + 1/2b
     -1/2 = 1/2a -1/2b
     -3/4 = 1/4a + 1/4b

Mes équations sont-elles bonnes ?
Je trouve b = -1 mais a je ne trouve pas ...

Posté par Priam Priam

Connaissant b, tu tires a de la 2ème équation et tu portes les valeurs de a et de b dans la dernière équation, pour voir si elle devient bien une identité.

Posté par demi demi

Ca y'est j'ai trouvé a = -2 et b = -1 C'est ça ?

Mais je n'ai pas bien compris pourquoi on a montrer que MI, MG et MB sont coplanaires pour montrer
que (HJ) et (BGI) et M, le milieu de [HJ] ? (C'est en faite la question 2 qui demande de conclure)

Posté par Priam Priam

Pour savoir si "c'est ça", done à a et b, dans la dernière équation, ces valeurs que tu as calculées.

Pour la conclusion de la question 2, on peut dire que M, milieu de JH, appartient non seulement à JH,

mais aussi au plan BGI, puisque MB, MG et MI sont coplanaires. C'est donc que ce plan coupe JH en son milieu M.

Posté par demi demi

D'accord Merci énormément pour la méthode 1 !

Pour la méthode 2 je ne vois pas trop pourquoi il faut chercher l'intersection de la droite (GI) avec (BAEF) ...

Posté par Priam Priam

C'est pour déterminer le point K.

Posté par demi demi

Mais dans l'énoncé on dit que K est le milieu de [AE] ...

Posté par Priam Priam

Il faut démontrer que K appartient au plan BGI.

Posté par demi demi

Je suis pas du tout douée pour ça

Pour démontrer qu'un point appartient à un plan ( cas général), il faut commencer par quoi ?

Posté par Priam Priam

As-tu cherché l'intersection de la droite GI avec le plan BAEF (cf mon 1er message) ?

Posté par demi demi

Si on prolonge GI et FE on a le point d'intersection ?

Posté par Priam Priam

Oui. Continue.

Posté par demi demi

Mais à quoi sert ce point d'intersection ?

Posté par demi demi

Je ne vois pas à quoi sert ce point d'intersection

Posté par Priam Priam

Ce point (appelons N) appartient aux plans BGI et BAEF, comme le point K que l'on cherche ....

Posté par demi demi

D'accord j'ai compris je vais faire un schéma.

Posté par demi demi

Voilà.

J'ai aussi tracé le parallélogramme pour la deuxième question.
Pour montrer que KJGH est un parallélogramme, il faut utilise la propriété de la droite des milieux et les propriétés du cube ?

Posté par Priam Priam

Ta figure est parfaite, mais il y manque un droite essentielle : NB, qui coupe AE en un point qui est le sommet manquant du polygone intersection du plan BGI et du cube.

On peut alors démontrer que ce point est le milieu de AE et que c'est donc le point K cherché.

JK est parallèle aux arêtes du cube telles que AB ou GH, et de même longueur.

Posté par demi demi

Voilà j'ai tracé la droite (NB).

Je fais un récapitulatif :
Pour répondre à la première question : 1. Montrer que (BGI) coupe le cube suivant le polygone BGIK où K est le milieu de [AE], on a tracer l'intersection de la droite GI avec le plan BAEF, ce qui a donné le point N, qui appartient donc aux plan (BGI) et (BAEF), puis on a tracé (NB) pour avoir le point K. Mais comment peut-on démontrer que K est le milieu de [AE] ?

Posté par Priam Priam

Considère le triangle FBN muni du segment KE.

Posté par demi demi

On pourrait utiliser ce théorème des milieux : "Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu" mais on a pas démontrer que E est le milieu de [FN]

On peut utiliser Thalès sinon mais cela va pas nous dire que K est le milieu de [AE], ce théorème va juste nous dire que NE/NF = NK/NB = EK/FB ...

Posté par Priam Priam

On peut démontrer que E est le milieu de FN ....

Posté par demi demi

Comment ? je ne vois pas

Posté par Priam Priam

Considère le triangle GFN muni du segment EI.

Posté par demi demi

A oui d'accord là on peut utiliser la propriété que j'ai cité précédemment

Posté par demi demi

J'ai rédigé tout mon devoir mais y'a encore deux points qui me gêne un peu (merci encore pour ton aide) :

Dans la 2eme méthode, pour la 1, dans le triangle GFN, rien ne nous dit que I est le milieu de [NG], on sait juste que I est le milieu de [EH] ...

et pour la 3, quels éléments nous permettent de conclure ?