logarithme népérien

Posté par star28 star28

Bonjour, je suis en Terminale ES et je ne comprends pas cet exo:
" 1) Précisez l'ensemble de définition puis résolvez l'inéquation: ln (3x carré - x) ln x + ln 2
2) Avec la calculatrice, trouvez le plus petit entier naturel n tel que:
a) (1,05)^{[/sup]n 2
b) (0,95)[sup]}n 0,2 "

Merci de votre aide.

Posté par star28 star28

Dsl, a) (1,05)puissance n 2
et b) (0,95) puissance n 0,2

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Il faut te servir des propriétés du logarithme : ln(ab) = lna + lnb et ln(aⁿ) = nlna

Par exemple lnx + ln2 = ln(2x) donc on peut écrire 0

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

Pour le premier, l'ensemble de définition est donné par la double condition due à la présence des ln :
3x²-x > 0
x > 0
A toi de le déterminer
Ensuite, tu fais passer tous les termes à gauche :
ln(3x²-x)-ln(x)-ln(2) 0
et en utilisant les propriétés de ln :
ln((3x²-x)/(2x)) 0
soit :
(3x²-x)/(2x) 1
que tu simplifies et résous sans problème.
Vérifie que ce que tu trouves est bien dans l'ensemble de définition !

Pour le second, fais des essais successifs :
1.05¹⁰ < 2
1.05²⁰ > 2
donc le résultat est entre 10 et 20, je te laisse raffiner
de même
0.95³⁰ > 0.2
0.95⁴⁰ < 0.2
donc le résultat est entre 30 et 40, je te laisse raffiner

Posté par star28 star28

Pour 1), on trouve D= (- infini 0) 1/3 + infini
et au final en simplifiant x1
C'est bon je pense ?

Posté par star28 star28

En revanche, je ne comprends votre méthode pour la question 2).

Posté par LeHibou LeHibou

C'est une méthode d'essais successifs, comme la recherche de racines pas dichotomie.
Pour le premier, n est entre 10 et 20, tu essayes 15, tu vois si n est entre 10 et 15 ou entre 15 et 20, et tu continues en resserrant de plus en plus l'intervalle.

Posté par LeHibou LeHibou

Pour le domaine, c'est faux, la présence du terme ln(x) impose x > 0

Posté par star28 star28

Ok, j'ai compris pour la question 2), mais je cherche pour la question 1), mais je ne trouve pas ...

Posté par thierry45mada thierry45mada

Bonjour
Les seules conditions à respecter viennent qu'on ne peut prendre le log d'une variable que si elle est strictement positive.

Tu as deux log et tu dois donc avoir EN MEME TEMPS :
(1) 3x²-x>0
(2) x>0

La condition (1) se traduit par x<0 OU x>1/3
La condition (2) se traduit par x>0

Pour remplir les 2 conditions, tu DOIS avoir : x>1/3

Bonne suite

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Pour la 1), il faut que 3x²-x = (3x-1)x > 0 pour que la fonction ln soit définie, donc on a x>1/3 puisque, dans l'autre cas (x<0) on ne peut pas définir lnx.
Le fait qu'on simplifie ensuite par x dans la fraction ne doit pas intervenir pour l'instant.
Ce n'est qu'une fois qu'on a trouvé une solution sur le domaine de définition de l'inéquation ]1/3 [ qu'on peut voir si on peut prolonger la solution en x=0. Mais ce n'est apparemment pas demandé.

Pour le 2), il est plus simple de prendre ln(1,05ⁿ) = nln(1,05) ln2 puisque lnx est une fonction croissante.