Suite numerique

Posté par Vannou Vannou

Bonjour, j'ai un DM de maths pour la rentrée sur les suites numeriques, or j'ai du mal a comprendre l'ennoncé... Si vous pouvier me donner les pistes a suivre pour chacunes des questions ca serait vraiment genial

I] Soit la suite (Un) definie par: Un = (Integrale de n a n+1) (1/x²)dx , pour n 1

   1) Representer la fonction f: f(x)= 1/x² sur l'intervaille ]0;+infini[, et interpreter Un
   2) A- Montrer que pour tout n : 1/(n+1)² Un 1/n²
et que: 1/4 + 1/9 + ... + 1/(n+1)² (Integrale de 1 a n+1) 1/x² 1 + 1/4 + ... + 1/n²
      B- En deduire que: 1/4 + 1/9 + ... + 1/(n+1)² 1 - 1/(n+1) 1 + 1/4 + ... + 1/n²

     3) Montrer que la suite (Sn) : Sn = 1+ 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² est croissante et qu'elle est majorée par 2

II] Soit la suite (In) n1 definie par In= (integrale de e a 1) ((lnx)ⁿ/ x²)dx
   1) Calculer I1
   2) Montrer que pour tout x de [1;e]: (lnx)ⁿ⁺¹ - (lnx)ⁿ 0 et que la suite (In) est decroissante et majorée par 1 et minorée par 0
   3) Montrer que pour tout n (n1) I(n+1) = (-1/e) + (n+1)In
Calculer I2, I3, I4
    4) A- En utilisant le resultat du 2) Montrer que pour tout n:
        0 (n+1)In 1 + 1/e
       B- En deduire lim In en +Infini, puis Lim(n+1)In et limnIn en + infini  


Merci de toute aide que vous m'apporterez

Posté par veleda veleda

bonjour,
tu as cherché?
1) tu traces la courbe demandée pas de problème je pense
c'est l'aire située sous la courbe et au dessus de l'axe des abscisses entre les droites d'équation x=n et x=n+1 tu comprends je pense

2)il faut encadrer la fonction sur [n,n+1]
0<nxn+1=>n²x²(n+1)²=>
tu en déduis un encadrement de l'intégrale sur [n;n+1] donc de u_n
tu continues

Posté par Vannou Vannou

je comprends pas comment on demontre l'encadrement de Un et la 2B, fin c'est surtout la fin du I que je ne comprends pas

Posté par thierry45mada thierry45mada

Bonjour,

Allons-y relax.

Si tu traces la courbe représentative de y=1/x², tu "verras" que u_n est l'aire de la zone comprise entre l'axe des abscisses, les verticales x=n et x=n+1 et enfin par la courbe.
Appelle X_n le point de l'axe des abscisses dont l'abscisse vaut n, M_n le point de la courbe d'abscisse n (coordonnées n; 1/n²), H_n le point de coordonnées (n; 1/(n-1)²) et enfin B_n le point de coordonnées (n; 1/(n+1)²).

u_n est l'aire de la zonz comprise entre X_n, X_n+1, M_n+1 et M_n, le bout entre M_n+1 et M_n faisant partie de la courbe.

Tu vois sans aucun problème que Aire(X_nX_n+1M_n+1B_n)u_nAire(X_nX_n+1H_n+1M_n)

Cà s'écrit : 1/(n+1)²u_n1/n²

La question 2A devient évidente

Et la question 2B devient triviale puisque 1-1/(n+1) EST la valeur de l'intégrale de 1/x² entre 1 et (n+1)

Quant à la question 3, c'est à nouveau très simple.
S_n+1=S_n+1/(n+1)²>S_n+1 donc S_n est croissante.

Tu as montré en 2B que 1/4+1/3²+...+1/(n+1)²1-1/(n+1)
Donc 1+1/4+1/3²+...+1/(n+1)²2-1/(n+1)2
Donc S_n est majorée par 2

Bonne suite

Posté par Vannou Vannou

et pour le II?

Posté par thierry45mada thierry45mada

Commence par dire où tu as un problème.

Ce n'est pas un guichet à solutions, ici!

Posté par thierry45mada thierry45mada

II1
Intégration par parties avec u'=1/x² (u=-1/x) et v=lnx (v'=1/x)

Ensuite 1<x<e 0<lnx<1 0<(lnx)ⁿ⁺¹<(lnx)ⁿ<1 0<Iⁿ⁺¹<Iⁿ⁺¹

Comme I₁<1 et que la suite est décroissante, I_n<1

Pour la question 3, c'est une affaire d'intégration par parties, avec u'=1/x² (u=-1/x) et v=(lnx)ⁿ (v'=n[(lnx)^n-1/x)

Bonne suite