Exercie : cylindre et cône

Posté par Girly Girly

Bonjour tout le monde alors voilà j'ai un exercice et j'aurais aimé que quelqu'un prenne un peu de son temps pour m'aider

Énoncé :
On veut construire un réservoir cylindrique de volume maximum dans un local de forme conique.
Le rayon de la base du cône mesure 6cm ; la hauteur du cône 12cm.
On note h la hauteur du cylindre et r le rayon de sa base.
1)Démontrer que : h=2x(6-r)
2)Exprimer le volume V du cylindre en fonction de r.
3)Justifier que r appartient à ]0;6[
4)Justifier que V est maximal si et seulement si f(r)=6r^2-r^3 est maximal.
5)Etudier les variations de f sur ]0;6[
6)Donner les dimensions du cylindre de volume maximum inscrit dans le cône ainsi que ce volume.

Voilà je vous remercie d'avance

Posté par Priam Priam

As-tu fait une figure (en coupe par un plan axial) ?

Posté par Girly Girly

Oui j'ai fais une figure mais je sais pas comment la mettre sur le forum

Posté par Priam Priam

Maintenant, applique le théorème de Thalès dans une moitié de la figure, à gauche ou à droite de l'axe de l'ensemble. Cela te donnera l'égalité de la question 1).

Posté par Girly Girly

Merci pour ton aide donc pour le 1) :
BO'/BO = DO'/SO

6-R/6 = h/12

h= (6-r)x12/6
h= 2x(6-r)

et pour le 2)
h=2(6-r=
h=12-2r
2r=12-h
r=6-h/2

V= Pi x r^2 x h
V= Pi x (6-(h/2))^2 x (2x(6-r))
V= Pi x 12 x (x^/4 -6x + 36) x (2x(6-r))

Posté par Priam Priam

Je ne comprends pas tes deux dernières lignes.

On demande l'expression du volume V du cylindre en fonction du rayon r de sa base :

V = pi*r²h = pi*r²*2(6 - r).

Voilà.

Posté par Girly Girly

A oui en effet ! merci =)
Mais pour justifier que r appartiennent à ]0;6[ il faut juste que je dise parce que r appartiens au rayon du cône qui mesure 6cm ou il faut que je le justifie avec un tableau de signe ?

Posté par Priam Priam

Ta première proposition : r peut varier de 0 (cylindre filiforme) à 6 (cm), rayon de la base du cône (cylindre de hauteur nulle).

Posté par Girly Girly

D'accord merci
Et pour le 4) Est-ce qu'il faut faire f(r)=6r^2-r^3
f(6)=6*6^2-6^3 = 0
?

Posté par Priam Priam

4) Cela résulte directement de la réponse à la question 2=.

Plus précisément, tu dois démontrer que si f(r) = 6r² - r³ est maximal, V est maximal et, inversement, que si V est maximal, f(r) est maximal.

Posté par lolo271 lolo271

Bonjour,

Faudrait quand même dire que tous ces cylindres sont révolutionnaires !

Posté par Girly Girly

Donc sachant que le volume est maximale si son rayon est maximum (c'est-a-dire qui mesure 6cm)
alors on a
V(r)= Pi*r^2*2(6-r)
V(6)= Pi*6^2*(6-6)
    = 0

f(r)= 6r^2-r^3
f(6)= 6*6^2-6^3
    = 0

Donc si V(r) est maximal, f(r) est maximal

Bref je sais pas si j'explique bien :S

Posté par Priam Priam

Tu as juste calculé le volume du cylindre filiforme et du cylindre de hauteur nulle. Pas étonnant que tu trouves un volume nul !

C'est que le volume du cylindre est maximal non pas quand son rayon est maximal (son volume est alors nul), mais quand son rayon prend une valeur comprise entre 0 et 6, qu'il s'agit de déterminer.

Posté par Girly Girly

Oui mais ce que je ne comprend pas c'est comment déterminer cette valeur :S

Posté par Priam Priam

Tu as calculé V(r), le volume du cylindre en fonction de r.

Calcule la dérivée V '(r) et cherche pour quelle valeur de r celle-ci s'annule. A cette valeur correspond le maximum du volume.

Posté par Girly Girly

Ah d'accord
Donc V(r)=pi*r^2*2(6-r)
V'(r)= -6pi*r*(r-4)
La valeur pour laquelle V s'annule est 4
Donc 4 est le maximum du volume c'est bon comme ca ?

Posté par Priam Priam

C'est parfait.

Tu peux en plus calculer la hauteur du cylindre de volume maximal.

Posté par Girly Girly

V=pi*r^2*h
=pi*4^2*h
-h=pi*4^2
h=16pi

Mais comment fait on pour répondre à la question 4 ?

Posté par Priam Priam

Résultat bizarre ....

Tu as calculé au début h en fonction de r. Ici, r = 4; d'où h.

Posté par Girly Girly

a c'est h=8pi non ?

Posté par Priam Priam

Tu as calculé précédemment (regarde ton message de 23h50)  h en fonction de r : h = 2(6 - r).

Si tu as r, cette formule te donne h.

Posté par Girly Girly

a oui je suis bête ! Donc h= 2(6-4) = 2x2 = 4

Posté par Girly Girly

Mais cela ne répond pas à la 4) non ?

Posté par Girly Girly

svp si quelqu'un pourrait m'éclairer :S

Posté par Girly Girly

Personne ?