Exercice : Applications linéaires

Posté par matou4 matou4

Bonjour, j'ai un exercice à rendre pour la rentrée, non noté certe, mais important (Je suis en PCSI)

Soit*, on s'occupe de l'ensemble F(), applications linéaires de ^3 dans ^3 avec f°f=f

Partie I :

fF()
1) Montrer que Im(f) = {u^3 , f(u)=u }
2) Montrer que Ker(f) et Im(f) sont des se supplémentaires de ^3
3) Etablir que Im(f-id_^3)Ker(f)
4) Est ce possible de choisir * tq f soit un projecteur ?

Partie II :

On a f :       ^3 ^3
                (x,y,z) (-x+y+z, -6x+4y+2z, 3x-y+z)

1) Montrer que f appartient à F() pour un a preciser.
2) Ecrire chacun des ensembles Ker(f) et Im(f) sous la forme Vect(a1,a2, ...)
3) Le vecteur =(7,6,5) appartient-il à Im(f)

Partie III :

On a g :       ^3 ^3
                (x,y,z) (0,5x+0,25y + 0,5z, y, 0,5x-0,25y+1/2z)

1) Montrer que g appartient à F() pour un a preciser.
2) Préciser Ker(g) et Im(g)
3) Montrer que les espaces Im(g) et vect(a) avec a =(1,1,1) sont supplémentaires dans ^3
4) Determiner l'expression de la projection sur Im(g) // à Vect(a)

Voila !

Bien entendu, j'aimerai pas que l'on m'explique, car pour moi l'algèbre linéaire c'est totalement nouveau, on vient de finir l'introduction (jsq projecteur) et donc le commencement ...
Je cherche de mon coté mais j'avoue que pour l'instant c'est pas porteur de fruit, donc un coup de main serait sympa ...

Merci

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pour commencer:

1) signifie qu'il existe v tel que u=f(v). Alors et voilà une inclusion de faite...

La réciproque est facile...

2) Commence par montrer que (utilise 1)

3) C'est presque immédiat si tu explicites

Tu essayes? Si tu n'y arrives pas, reviens nous voir!

Posté par matou4 matou4

Décidément Camélia, vous m'aidez pour tous mes exos ! Un grand merci pour vos réponses !

1) Je comprends ce que vous avez fait mais je n'aurai pas réussi a le faire seul ... Conclusion, je n'arrive pas a faire la deuxième inclusion ! (énervé)
Je dois montré que Im(f) u ? Donc il existe un f(v) tq f(v)=u ... f(f(v))= ... c'est ça ?

2) Pour montrer que l'image est le noyau sont supplémentaires ne pouvons nous pas démontrer qu'un vecteur (u,v,w) ³ se décompose de manière unique comme somme d'un vecteur de imf et ker f ?
Ou encore que f est surjective ?

Sinon, avec votre méthode :
Ker(f) := {u³ tq f(u)=0}
Im(f) := {u³ tq f(u)=u}
Donc Ker(f)Im(f) = {0} donc Ker(f) et Im(f) supplémentaires ?

3) Im(f-x) := { f(x)-x tq x^3}

j'avoue que l'exo me parait difficile ... la suite peut etre moins enfin Partie II 2) et 3)  et Partie III 2) et 4) ...

Encore merci

Posté par Camélia Camélia

Ne t'énèrve pas et tu peux me tutoyer!

1) J'ai montré que si u est dans Im(f), alors . L'aitre inclusion, consiste à montrer que si alors u est dans Im(f), donc qu'il existe v tel que u=f(v).
Or si f(u)=\lambda u, comme et comme f est linéaire, on a

2) J'ai utilisé des résultats théoriques... je sais que dim(Ker(f))+dim(Im(f))=3, et pour de tels espaces il suffit de montrer que l'intersection est réduite à 0 pour être sur qu'ils sont supplémentaires!

Si tu ne disposes de rien de tel, on peut revenir à la définition. Soit u quelconque. On cherche v dans Ker(f) et w dans Im(f) tels que u=v+w. Alors (d'après 1). Donc (de manière unique). Alors v=u-w et il te reste à vérifier que ce v est bien dans Ker(f).

Posté par matou4 matou4

Merci encore pour tes réponses ! Mais c'est dur ...
On a fait le cours avant les vacances, deux exos, et j'ai DS a la rentrée avec un DM ... Super ...
Et j'ai l'impression que à part trouver le noyau et l'image je ne sais rien faire ...

Pour la 1) lorsque on a trouvé que u = f(u/)  et f(u)=u c'est fini ? étrange, je ne comprends pas pourquoi ?

et la 2 je ne comprends pas ... désolé mais je trouve cela difficile. Je ne sais pas faire ...

Posté par matou4 matou4

Je comprends pas pourquoi je doit montrer que v est bien dans Ker(f) alors que l'on considère que f(v)=0 ?

Posté par matou4 matou4

Personne pour m'aider ?

Posté par Camélia Camélia

montre que u est l'image de quelque chose, donc qu'il est dans l'image.

Pour la somme directe: On veut Montrer qu'il existe v et w là où on a dit tels que u=v+w. On suppose qu'on les a. On voit que on trouve quelque chose pour w, donc forcément v=u-w. Mais après tout, la proposition pourrait être fausse! Pour finir de montrer que tout va bien, on DOIT montrer que CE v est bien dans le noyau.

Posté par matou4 matou4

Bon Bon ...

Alors je me penche à nouveau à cet exo après avoir enfin finit les 3 autres !

Pour la question 1) je doit montrer la double inclusion qui signifie l'égalité.
u im(f) => il existe v tq u=f(v) , f(u)= f(f(v)) = f(v) = u
f(u) = u => il existe v tq u=f(v) or si f(u) = u comme non nul et f linéaire on a u = f((1/) . u)
Je dois montrer maintenant que u = f(u/) im(f) ? C'est cela ? J'ai regardé dans mes cours, mes exos ... sur le net ... mais je ne sais pas faire. Y a t il une méthode à utiliser, je ne sait pas quoi faire ...
Je peux juste dire que im(f) = {f(x), x} or u/
es ce suffisant  ?

Pour la 2) j'ai cherché sur un exo dans un livre ... et je suis tombé sur le fait que pour montrer qu'il sont supplémentaires dans R on montre qu'il sont en somme directe comme tu me l'avait dit et pour cela on prends un éléments appartenant au noyau et à l'image et on montre qu'il est nul ...
Dans l'exo que j'ai fait cela tourne bien puisque j'ai un équation de droite ... donc un système ... mais là il y a rien ... je n'ai pas d'outil je bosse sur du vide j'ai l'impression ... f°f=f ??!!

idem pour la 3) et 4)

Partie II
1) J'ai calculé f°f et j'ai trouvé qu'il appartenait à R et s'écraivait de la forme f ou et =2
2) je résout :
-x+y+z=0
-6x+4y+2z=0
3x-y+z=0

je trouve (0,0,0) et j'ai vérifié sur http://homeomath.imingo.net/systemjs.htm mais rien ...


Vect (a1,a2 ...) je comprends à quoi doit me mener le système ... j'ai 3 inconnu ... 3 équations ...
Dans un exo, on a résolu le système sous la forme d'un vecteur (x,y,z) ou x et y exprimé en fct de z ... soit un nouveau vecteur (a,b,1) ou (x,y,z) colinéaire à (a,b,1)  donc Ker f = Vect (a,b,1) ...
Un peu compliqué à expliqué ... car on avait une fct de R3 dans R2
Je peut peut être scanner mon exo mais il me faudrait un mail pour l'envoyé ...



Pour im(f) on se donne un vecteur (u,v,w) dans R3 et on cherche à quelles conditions :

-x+y+z=u
-6x+4y+2z=v
3x-y+z=w




Encore merci par avance, je suis pénible désolé.
En espérant avoir une réponse rapidement, à bientôt !

Posté par matou4 matou4

Camelia Camelia ... aide moi


petit up !

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour

Pour la partie I. Moi j'ai écrit qui est bien un vecteur multiplié par un scalaire, donc un vecteur. C'est pourquoi écrire n'est pas faux, mais on s'embrouille!

2) est déjà pratiquement écrit. Soit u quelconque. on cherche et tels que . Donc il doit exister w' tel que . Alors



Donc nécessairement et alors, tout aussi nécessairement . Comme , on a bien et on a montré l'existence et l'unicité de la décomposition.

3) Immédiat.

4) Peut-on avoir ?

donc on veut , donc

Partie 2.

C'est vrai que f o f=2f.

Pour trouver le noyau il faut bien résoudre le système



Ses solutions sont de la forme (x,2x,-x) avec x quelconque, donc en posant
on a

Pour l'image:



Ces trois vecteurs engendrent l'image, mais on sait qu'ils ne sont pas linéairement indépendants. On vérifie facilement que les deux premiers le sont, donc si on les appelle et on a

Posté par matou4 matou4

Oh merci Camélia !!!

Je finit ma colle de Français et je me occupe des math ! MERCII !

Posté par matou4 matou4

Me revoilà !

Partie I :

1) Ok
2) J'ai dans l'ensemble bien compris à part le fait de dire que f(v)=0 sachant qu'on cherche v appartenant à Ker(f). Quand tu écris : f(u)=f(v)+f(f(w')=0+f(w') Le 0, tu le pose car tu suppose ? C'est ça ... Ensuite tu vérifie que cela marche ? C'est ça ?
Juste par rapport à mon cours, s'il sont en supplémentaire, ils sont en somme direct donc pourquoi ne pas utiliser le signe
3) Ok En effet, cela coulé de source mais bon ... fallait le coup d'oeil ... respect
4) Ok idem

Partie II :

1) Ok
2) KER : En effet pour la solution que tu m'a donné ça marche mais je n'arrivais pas à tomber sur ça ... =( après moulte tentative, j'ai pensé à dire que x=x ou z=z et c'est bon !
IM : J'avais oublié cette méthode qui marche parfaitement, mais dans mon cours je l'ai réalisé avec 2 équation et non 3 et la proposition de linéairement indépendant ne m'a pas traversé l'esprit et je ne l'ai pas évoqué sur mon cours ... Pourrais tu m'éclaircir, pourquoi a2 et a3 et non pas a4 ... j'ai pas bien compris
3) Pour moi c'est non après calcul.

Partie III :

1) gF(1) projecteur dans R3
2) Ker(f)=(1,0,-1)      

Mais pour l'image j'ai décidément pas compris ....
J'ai 3 méthodes :
M1 : (u,v,w) vecteur
eq1 = u
eq2= v
eq3 = W
et je bloque là

M2 : la méthode que tu ma expliqué au dessus, je bloque au moment de dire : vect de ...

M3(non utilisé par mon prof) : (x,y,z)Im(g) donc g(x,y,z)=(x,y,z)

Que faire et surtout comment ?


3) Je crois que c'est bon pour elle

4) la je sais pas ...

Encore merci pour tout Camélia, j'apprends beaucoup grâce à toi ! Merci

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour

I. 2) Oui, c'est ça. Je suppose qu'ils existent je les trouve et je vérifie qu'ils vérifient toute les conditions.

Le signe s'applique à des SOUS-ESPACES et uniquement quand on est sur qu'ils sont bien supplémentaires, alors que E+F a toujours un sens.

II. 2) Vect(x,y) dit simplement qu'il s'agit du sous-espace engendré par x et y. Il n'y a pas unicité. J'aurais pu choisir d'autres vecteurs pour décrire Im(f).

3). C'est bien non!

III. C'est bien un projecteur. OK pour le noyau. Vu le reste du problème, recherche directe de l'image:



La projection de Im(g) sur Vect(a) se trouve de la manière suivante: Tu sais

et cette fois, le premier et le dernier vecteur sont égaux! Donc Im(g) est engendré par les deux premiers, qui sont linéairement indépendants.

Tu sais donc que im(g) et Vect(a) sont supplémentaires. Il faut décomposer un élément quelconque (u,v,w) dans cette somme, en tenant compte de tout ce que l'on sait.



La somme des dux premiers termes est la projection cherchée (une fois que l'on a trouvé \lambda

Posté par Camélia Camélia

... erreur... une fois que l'on a trouvé et

Posté par matou4 matou4

Encore merci ... mais j'ai toujours les même problème

Partie I :

2) Oui mais un sous groupe, c'est un groupe ...  Un sev est un ev ... donc à la fin vue qu'ont a montrer qu'ils étaient supplémentaires ... On ne peut quand même pas utiliser la somme directe ?

Partie II :

2) Je comprends toujours pas pourquoi c'est x et y et pas x , y et z ... ou y et z ou x et z ...

Partie III :

2) L"image je comprends pas comment on la détermine ...

Le reste je suis en train de réfléchir ...

Posté par matou4 matou4

J'ai trouver la 4 !!!!! Ouuhh !

Enfin je pense : (3x-y-2z ; 2x-2z ; 2x-y-z)

Voila je crois que j'ai bien compris le sujet à part trouver l'image ... La je bloque vraiment ... C'est quoi la méthode car j'en ai 3 (voir ci dessus) mais j'ai du mal ...
Merci encore

Posté par Camélia Camélia

Tu as le droit d'écrire pour la somme directe. Ici,

Pour l'image, je ne sais pas que dire de plus... on peut donner beaucoup de descripstions du même espace...

Posté par matou4 matou4

Big plus ? C'est quoi ça ? ?

J'ai créé un autre topic juste sur l'image.

En tout cas je te remercie beaucoup car tu m'as bien aidé pendant ces vacances et je crois qu tu m'avais aidé il y a quelque temps de cela ...

Merci à toi !
et à bientôt =)

Posté par Camélia Camélia

Oui, je me suis trompée dans le LATEX.

Contente de t'avoir aidé!