espaces vectoriel normés

Posté par maru57 maru57

Bonjour , j'ai une question dans le cadres des E.V.N je voulais savoir si vous connaissiez un e.v.n non complet qui est simple?

Posté par HarryPotter HarryPotter

Alors il suffit je pense de prendre l'ensemble des rationnels, il existe une suite qui "converge" vers racine de 2 : qui n'est pas rationnel.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

L'ensemble des rationnels N'EST PAS un R espace vectoriel! Or la notion d'espace normé, tout au moins à ce niveau suppose toujours qu'il s'agit de R-espaces vectoriels.

Par ailleurs, on démontre qu'un R-espace vectoriel de dimension finie est toujours complet.

Alors voici un contrexemple, forcément de dimension infinie...

On prend E=R[X] ensemble des polynômes a coefficients réels. On définit la norme par



Je te laisse montrer que c'est bien une norme et que la suite définie par



est une suite de Cauchy divergente.

Posté par HarryPotter HarryPotter

Je viens de regarder la définition sur wikipédia et en fait pour parler de SEV Normé, il faut que l'ensemble ne soit pas discret (http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel_norm%C3%A9)

Posté par HarryPotter HarryPotter

Donc oui, mon exemple est du coup faux

Posté par Camélia Camélia

Salut HarryPotter

Si on écoute Wiki, ton exemple n'est pas faux! Q muni de la valeur absolue usuelle n'est pas discret, donc devrait convenir! Sauf qu'en lisant la suite, ils prennent bien R ou C et les grands théorèmes sont bien sur R ou C. Mais franchement, je n'ai jamais vu une vraie théorie de Q-espaces normés et je ne suis même pas sure que R en tant que Q-espace vectoriel normé soit complet!

Quand j'ai dit qu'à ce niveau on ne regardait que R ou C pour un espace normé, je pensais plutôt aux valeurs absolues ultramétriques, qui sortent complètement du cadre...