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Le produit scalaire dans l'espace
Posté le 09-02-10 à 15:26
Posté par 
Superflow Superflow
Bonjour à tous !
Voilà, un dm pour les vacances et quelques indications de mon professeur de maths mais je bloque à quelques endroits de cet exercice. Je posterai les questions au fur et à mesure.
A,B,C et D sont quatre points non coplanaires de l'espace, I est le milieu de [AB], J le milieu de [CD] et G le milieu de [IJ].
1) Peut on avoir I=J?
Ici, cela reste facile, j'ai dit que les quatre points n'étaient pas coplanaires donc qu'on ne pouvait pas avoir I=J.
Existe-t-il des points M de l'espace tels que MA+MB=MC+MD ? (Ce sont des vecteurs)
Notre professeur nous a indiqué ici que l'on devait arriver à l'égalité suivante : 2MI=2MJ
Ainsi :
MA+MB=MC+MD
(MI+IA) + (MI+IB) = (MJ+JC) + (MJ+JC) d'après la relation de Chasles.
Pui j'arrive à :
2MI+IA+IB = 2MJ + JC +JD
Mais là je bloque, je n'arrive pas à faire "disparaître" les vecteurs en trop et arriver à l'égalité indiquée.
Merci de votre aide !
Superflow
Superflow SuperflowBonjour à tous !
Voilà, un dm pour les vacances et quelques indications de mon professeur de maths mais je bloque à quelques endroits de cet exercice. Je posterai les questions au fur et à mesure.
A,B,C et D sont quatre points non coplanaires de l'espace, I est le milieu de [AB], J le milieu de [CD] et G le milieu de [IJ].
1) Peut on avoir I=J?
Ici, cela reste facile, j'ai dit que les quatre points n'étaient pas coplanaires donc qu'on ne pouvait pas avoir I=J.
Existe-t-il des points M de l'espace tels que MA+MB=MC+MD ? (Ce sont des vecteurs)
Notre professeur nous a indiqué ici que l'on devait arriver à l'égalité suivante : 2MI=2MJ
Ainsi :
MA+MB=MC+MD
(MI+IA) + (MI+IB) = (MJ+JC) + (MJ+JC) d'après la relation de Chasles.
Pui j'arrive à :
2MI+IA+IB = 2MJ + JC +JD
Mais là je bloque, je n'arrive pas à faire "disparaître" les vecteurs en trop et arriver à l'égalité indiquée.
Merci de votre aide !
Superflow
Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 18:04
Posté le 18-02-10 à 18:04Posté par Superflow Superflow
Bonjour à tous !
Voilà, un dm pour les vacances et quelques indications de mon professeur de maths mais je bloque à quelques endroits de cet exercice. Je posterai les questions au fur et à mesure.
A,B,C et D sont quatre points non coplanaires de l'espace, I est le milieu de [AB], J le milieu de [CD] et G le milieu de [IJ].
1) Peut-on avoir I=J? Existe-t-il des points M de l'espace tels que MA+MB=MC+MD ? (Ce sont des vecteurs)
Celle-ci, résolue sans aucun problème en développant, j'obtiens :
2MI=2MJ
MI=MJ
I=J => Impossible (CF. énoncé)...
On ne peut pas avoir I=J et donc il n'existe pas de points M...
2) Quel est l'ensemble P1 des points M de l'espace tels que: ||MA+MB||=||MC+MD|| ? (Ce sont des normes et des vecteurs)
Ici, je suppose qu'il faut que je parte en développant aussi?! Et ainsi arriver à ||MI||=||MJ]|| ?
3) On suppose, dans cette question, que AB=CD (Ce ne sont pas des vecteurs) et on se propose de déterminer l'ensemble P2 des points M de l'espace tels que :
MA²+MB²=MC²+MD² (Ce ne sont pas des vecteurs)
a) Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB² (Ce ne sont pas de vecteurs)
Là je ne vois pas trop trop !
b) Déterminez l'ensemble P2. Comparez P1 et P2.
Besoin de votre aide !!
Merci !
Superflow
*** message déplacé ***
Superflow SuperflowBonjour à tous !
Voilà, un dm pour les vacances et quelques indications de mon professeur de maths mais je bloque à quelques endroits de cet exercice. Je posterai les questions au fur et à mesure.
A,B,C et D sont quatre points non coplanaires de l'espace, I est le milieu de [AB], J le milieu de [CD] et G le milieu de [IJ].
1) Peut-on avoir I=J? Existe-t-il des points M de l'espace tels que MA+MB=MC+MD ? (Ce sont des vecteurs)
Celle-ci, résolue sans aucun problème en développant, j'obtiens :
2MI=2MJ
MI=MJ
I=J => Impossible (CF. énoncé)...
On ne peut pas avoir I=J et donc il n'existe pas de points M...
2) Quel est l'ensemble P1 des points M de l'espace tels que: ||MA+MB||=||MC+MD|| ? (Ce sont des normes et des vecteurs)
Ici, je suppose qu'il faut que je parte en développant aussi?! Et ainsi arriver à ||MI||=||MJ]|| ?
3) On suppose, dans cette question, que AB=CD (Ce ne sont pas des vecteurs) et on se propose de déterminer l'ensemble P2 des points M de l'espace tels que :
MA²+MB²=MC²+MD² (Ce ne sont pas des vecteurs)
a) Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB² (Ce ne sont pas de vecteurs)
Là je ne vois pas trop trop !
b) Déterminez l'ensemble P2. Comparez P1 et P2.
Besoin de votre aide !!
Merci !
Superflow
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 18:32
Posté le 18-02-10 à 18:32Posté par Superflow Superflow
Et bien non ! Notre professeur nous a dit que ceci était impossible et ainsi d'en déduire la suite...
Pouvez vous regarder pour la suite de l'exercice svp?!
Merci de votre aide
Superflow
*** message déplacé ***
Superflow SuperflowEt bien non ! Notre professeur nous a dit que ceci était impossible et ainsi d'en déduire la suite...
Pouvez vous regarder pour la suite de l'exercice svp?!
Merci de votre aide
Superflow
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 19:12
Posté le 18-02-10 à 19:12Posté par pgeod pgeod
oui. tu as raison. autant pour moi.
Ca n'est possible que si les points sont coplanaires.
donc oK pour 1/
2/
||MA+MB||=||MC+MD||
<=> ||2MI||=||2MJ||
<=> ||MI||=||MJ||
<=> M
plan médiateur à [IJ]
...
*** message déplacé ***
pgeod pgeodoui. tu as raison. autant pour moi.
Ca n'est possible que si les points sont coplanaires.
donc oK pour 1/
2/
||MA+MB||=||MC+MD||
<=> ||2MI||=||2MJ||
<=> ||MI||=||MJ||
<=> M
plan médiateur à [IJ] ...
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 19:25
Posté le 18-02-10 à 19:25Posté par Superflow Superflow
Ok, donc pour la 2), c'est la même chose que la 1) ! Donc M appartient à P1, plan médiateur du segment [IJ].
Concernant la 3)a), je suppose qu'il faut que je parte de :
MA²=MA² (Ce sont des vecteurs)
MA²=(MI²+IA²)
J'ai donc fait apparaitre le MI (vecteur) mais je ne vois pas après...
Merci à vous !
Superflow
*** message déplacé ***
Superflow SuperflowOk, donc pour la 2), c'est la même chose que la 1) ! Donc M appartient à P1, plan médiateur du segment [IJ].
Concernant la 3)a), je suppose qu'il faut que je parte de :
MA²=MA² (Ce sont des vecteurs)
MA²=(MI²+IA²)
J'ai donc fait apparaitre le MI (vecteur) mais je ne vois pas après...
Merci à vous !
Superflow
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 19:31
Posté le 18-02-10 à 19:31Posté par pgeod pgeod
1/ n'est pas la même chose que 2/
dans 1/ c'est une égalité de vecteurs
dans 2/ c'est une égalité de normes (scalaires).
2/ a) Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB²
MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= .......... développe
...
*** message déplacé ***
pgeod pgeod1/ n'est pas la même chose que 2/
dans 1/ c'est une égalité de vecteurs
dans 2/ c'est une égalité de normes (scalaires).
2/ a) Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB²
MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= .......... développe
...
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re : Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 19:49
Posté le 18-02-10 à 19:49Posté par Superflow Superflow
2) Je dis donc que : ||IA|| + ||IB|| = 0 (et non pas vecteur nul?!)
De même pour : ||JC||+||JD|| = 0 ?!
3)a) On nous donne ici, précédemment : AB=CD et MA²+MB²=MC²+MD²=0 (et ce sont des longueurs!)
Je ne vois donc pas pourquoi vous partez de cela?
Merci
Superflow
*** message déplacé ***
Superflow Superflow2) Je dis donc que : ||IA|| + ||IB|| = 0 (et non pas vecteur nul?!)
De même pour : ||JC||+||JD|| = 0 ?!
3)a) On nous donne ici, précédemment : AB=CD et MA²+MB²=MC²+MD²=0 (et ce sont des longueurs!)
Je ne vois donc pas pourquoi vous partez de cela?
Merci
Superflow
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 18-02-10 à 19:56
Posté le 18-02-10 à 19:56Posté par pgeod pgeod
Je ne vois pas d'où tu sors cela.
En plus cela est faux car ||IA|| = ||IB|| et ||JA|| = ||JB||
On vient de la faire la 2/, non ?
||MA+MB||=||MC+MD||
<=> ||2MI||=||2MJ||
<=> ||MI||=||MJ||
<=> M plan médiateur à [IJ]
...
*** message déplacé ***
pgeod pgeodCitation :
2) Je dis donc que : ||IA|| + ||IB|| = 0 (et non pas vecteur nul?!)
De même pour : ||JC||+||JD|| = 0 ?!
2) Je dis donc que : ||IA|| + ||IB|| = 0 (et non pas vecteur nul?!)
De même pour : ||JC||+||JD|| = 0 ?!
Je ne vois pas d'où tu sors cela.
En plus cela est faux car ||IA|| = ||IB|| et ||JA|| = ||JB||
On vient de la faire la 2/, non ?
||MA+MB||=||MC+MD||
<=> ||2MI||=||2MJ||
<=> ||MI||=||MJ||
<=> M plan médiateur à [IJ]
...
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 19-02-10 à 14:29
Posté le 19-02-10 à 14:29Posté par Superflow Superflow
Exact, petite erreur d'inattention de ma part !
Et donc 3)a) et b), dois-je partir de MA²=MA² comme nous l'a indiqué notre professeur? La suite est elle correcte? Je n'arrive cependant pas à cette formule de la médiane !
Merci !!
Superflow
*** message déplacé ***
Superflow SuperflowExact, petite erreur d'inattention de ma part !
Et donc 3)a) et b), dois-je partir de MA²=MA² comme nous l'a indiqué notre professeur? La suite est elle correcte? Je n'arrive cependant pas à cette formule de la médiane !
Merci !!
Superflow
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 19-02-10 à 18:37
Posté le 19-02-10 à 18:37Posté par pgeod pgeod
Il me semble que je t'ai fait le début :
3/ a) Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB²
MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= .......... développe
...
*** message déplacé ***
pgeod pgeodIl me semble que je t'ai fait le début :
3/ a) Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB²
MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= .......... développe
...
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 19-02-10 à 19:16
Posté le 19-02-10 à 19:16Posté par Superflow Superflow
Oulah ok, dsl je suis un peu fatigué là !
Je vais regarder ça.
Et donc pour la 3) b), même chose que la 2) ?
J'ai donc :
On sait que AB=CD donc : MA²+MB²=MC²+MD²
Ainsi :
2MI² + AB²/2 = 2MJ² + CD²/2
MI²=MJ² équivaut à MI=MJ
Donc P1=P2 ?!
Merci de votre patience !
Superflow
*** message déplacé ***
Superflow SuperflowOulah ok, dsl je suis un peu fatigué là !
Je vais regarder ça.Et donc pour la 3) b), même chose que la 2) ?
J'ai donc :
On sait que AB=CD donc : MA²+MB²=MC²+MD²
Ainsi :
2MI² + AB²/2 = 2MJ² + CD²/2
MI²=MJ² équivaut à MI=MJ
Donc P1=P2 ?!
Merci de votre patience !
Superflow
*** message déplacé ***
re : Ensembles et espace Posté le 19-02-10 à 19:32
Posté le 19-02-10 à 19:32Posté par pgeod pgeod
donc : MI²=MJ² équivaut à ||MI|| = ||MJ||
et c'est bien la même que 2) quand ||AB|| = ||CD||
P1 = P2
...
*** message déplacé ***
pgeod pgeoddonc : MI²=MJ² équivaut à ||MI|| = ||MJ||
et c'est bien la même que 2) quand ||AB|| = ||CD||
P1 = P2
...
*** message déplacé ***
re : Le produit scalaire dans l'espace Posté le 21-02-10 à 21:19
Posté le 21-02-10 à 21:19Posté par Superflow Superflow
Dsl de vous re soliciter mais à la question 3)a), une fois arrivé à :
MA²+MB² = 2MI²+ 2(MI*IA) + 2(MI*IB)
Je n'arrive pas à faire apparaitre le 1/2AB² !
Merci !
Superflow
Superflow SuperflowDsl de vous re soliciter mais à la question 3)a), une fois arrivé à :
MA²+MB² = 2MI²+ 2(MI*IA) + 2(MI*IB)
Je n'arrive pas à faire apparaitre le 1/2AB² !
Merci !
Superflow
re : Le produit scalaire dans l'espace Posté le 21-02-10 à 21:31
Posté le 21-02-10 à 21:31Posté par geo3 geo3
RE
3a)
Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB² ??
dans ce qui suit il s'agit de vecteurs
MA² + MB² = (MI + IA)² + (MI + IB)² = MI² + 2MI.IA + MI² 2MI.IB +IA² + IB³ = 2MI² + 2MI.( IA + IB) + IA² + (-IA)² = 2MI² + 2IA³ = 2MI² + 2.(AB/2)² = 2MI² + AB²/2
car I étant milieu de AB => vecteur IA = - vecteur IB => IA² = IB² ( et non IA² = -IB²) et on a aussi IA² = AB²/4
A+
geo3 geo3RE
3a)
Démontrez la formule de la médiane : MA²+MB²=2MI²+ 1/2 AB² ??
dans ce qui suit il s'agit de vecteurs
MA² + MB² = (MI + IA)² + (MI + IB)² = MI² + 2MI.IA + MI² 2MI.IB +IA² + IB³ = 2MI² + 2MI.( IA + IB) + IA² + (-IA)² = 2MI² + 2IA³ = 2MI² + 2.(AB/2)² = 2MI² + AB²/2
car I étant milieu de AB => vecteur IA = - vecteur IB => IA² = IB² ( et non IA² = -IB²) et on a aussi IA² = AB²/4
A+
re : Le produit scalaire dans l'espace Posté le 21-02-10 à 21:31
Posté le 21-02-10 à 21:31Posté par pgeod pgeod
MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= 2 MI² + MI (IA + IB) + IA² + IB²
------------- or IA = - IB => IA+IB = 0
= 2 MI² + 0 + IA² + IB²
= 2 MI² + IA² + IB²
= 2 MI² + 2IA²
--------- or IA = IB = AB/2
= 2 MI² + AB²/2
...
pgeod pgeodMA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= 2 MI² + MI (IA + IB) + IA² + IB²
------------- or IA = - IB => IA+IB = 0
= 2 MI² + 0 + IA² + IB²
= 2 MI² + IA² + IB²
= 2 MI² + 2IA²
--------- or IA = IB = AB/2
= 2 MI² + AB²/2
...
re : Le produit scalaire dans l'espace Posté le 21-02-10 à 21:41
Posté le 21-02-10 à 21:41Posté par Superflow Superflow
Ok, génial, merci beaucoup !!
S'agit-il de vecteurs ou je laisse uniquement comme l'énoncé l'indique?!
Superflow
Superflow SuperflowOk, génial, merci beaucoup !!
S'agit-il de vecteurs ou je laisse uniquement comme l'énoncé l'indique?!
Superflow
re : Le produit scalaire dans l'espace Posté le 21-02-10 à 22:15
Posté le 21-02-10 à 22:15Posté par pgeod pgeod
il s'agit de vecteurs .
quand c'est un carré, on peut écrire indifféremment :
AB² =
² = ||||² = .
...
pgeod pgeodil s'agit de vecteurs .
quand c'est un carré, on peut écrire indifféremment :
AB² =
...
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