Exercice % du magazine Tangente

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 Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 19:28
Posté par Louisa59 Louisa59

Bonsoir

Qui peux m'expliquer cet exercice  

Le billet du jeu "Qui veut gagner un million ?", vendu 10 euros, comporte 36 cases à gratter disposées 

en carré 6×6. 

Parmi ces 36 cases, 6 contiennent le nombre "10", 9 le nombre "1" et les 21 autres le nombre "0".

Le joueur peut gratter les cases de son choix, et autant de cases qu'il veut. 

Lorsqu'il décide de s'arrêter, il multiplie entre eux les nombres découverts (y compris malheureusement

les éventuels "0") et gagne, en euros, le résultat obtenu. 

On suppose que tous les joueurs adoptent la stratégie optimale.

Statistiquement, quelle proportion des sommes jouées sera-t-elle reversée aux joueurs ? 

La réponse sera donnée en %, éventuellement arrondie au dixième.

_______________________

Je pensais à 100 % puisqu'ils choisissent la stratégie optimale, mais étant donné qu'on demande 

"arrondie au dixième" éventuellement, la réponse n'est sûrement pas celle-là

Merci 

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:11
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut 

Une stratégie peut être entendue ainsi: c'est une manière de choisir la première case à gratter et la n+1-ème en fonction des n précédentes, de l'avis du voisin, du boulanger du coin...

Mais typiquement, s'il se prend un 0 au début (aucun stratégie ne permet vraiment d'éviter ça) bon ben elle peut être aussi bonne qu'elle veut sa stratégie...^^

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:18
Posté par Louisa59 Louisa59

Bonsoir 1 Schumi 1

Merci

Il peut se prendre les vingt et un 0 de suite.

Et puis aussi, je n'y vois pas une stratégie, mais plutôt le hasard, non ?

Louisa

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:28
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ya bien des stratégies dans des jeu de cartes non (black jack typiquement): il n'empêche que ce sont bien des jeux de hasards! Ca a avoir avec des probas. Mais ça reste des probas, ya effectivement rien de déterministe.

De toute façon, la question n'est pas tant de savoir quelle est ladite stratégie. On suppose qu'il en existe une et que tous les joueurs l'adoptent.

Ici, j'pense que ça va surtout intervenir en terme de ce qu'il ne faut pas faire: genre typiquement, dans ladite stratégie ya: " si les 6 premières cases gratées ont 10 pour numéro, on s'arrête".^^

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:31
Posté par Daniel62 Daniel62

Bonsoir Louisa

 Cliquez pour afficher
s'il gratte 1 case:

  6 chances sur 36 de faire 10  gain = 60 

  9 chances sur 36 de faire  1  gain =  9

 21 chances sur 36 de faire  0

---------------------------------

 pour 36 grilles ---> gain possible = 69€

 6900/360 = 19,17% reversée

s'il gratte 2 cases:

 pour 1260 grilles --> gain possible = 4151€

 415100/12600 = 32,94% reversée

s'il gratte 3 cases:

 pour 42840 grilles --> gain possible = 214464€

 2144600/428400 = 50,06% reversée

s'il gratte 4 cases:

 . . . . . . . . . . . .

il faudrait continuer pour savoir qu'elle est la meilleure stratégie possible
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:39
Posté par Louisa59 Louisa59

Bonsoir Daniel

je comprends pas ça

 Cliquez pour afficher
s'il gratte 1 case:

  6 chances sur 36 de faire 10  gain = 60

  9 chances sur 36 de faire  1  gain =  9

21 chances sur 36 de faire  0

---------------------------------

pour 36 grilles ---> gain possible = 69€

6900/360 = 19,17% reversée

Pourquoi 6900/360 ?

Merci 
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:45
Posté par Louisa59 Louisa59

c'est pourquoi 6900/360 ? 
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:47
Posté par Daniel62 Daniel62

Re,

 Cliquez pour afficher
 6 chances sur 36 de faire 10

   pour 36 grilles --> 6 chances à 10€ = 60€

 9 chances sur 36 de faire 1

   pour 36 grilles --> 9 chances à 1€ = 9€

 21 chances sur 36 de faire 0

  pour 36 grilles --> 21 chances à 0€ = 0€

pour 36 grilles à 10€ la grille = 360€

gain possible = 60€+9€+0€ = 69€

69€/360€ = 0,1917

somme reversée = 19,17%
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 21:52
Posté par Louisa59 Louisa59

Daniel

 Cliquez pour afficher
Ah ok ! Merci. Et cette phrase Citation :
On suppose que tous les joueurs adoptent la stratégie optimale.
 elle veut dire quoi exactement ?

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 22:21
Posté par Daniel62 Daniel62

Louisa >>

 Cliquez pour afficher
les joueurs vont adopter la meilleure stratégie,

c'est-à-dire gratter le nombre de cases

qui correspond à la probabilité maximale d'avoir des gains,

je pense que ce nombre doit être 6, sans avoir fait les calculs,

qui correspond au nombre de 10 contenus dans la grille.
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 23:09
Posté par Louisa59 Louisa59

Merci Daniel

 Cliquez pour afficher
il faudra donc acheter pas mal de grilles de 36 cases 

Merci 
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 09-02-10 à 23:21
Posté par verdurin verdurin

Bonsoir.

Sur les stratégies possibles :

-- si la première case grattée est 0 on a perdu 10€ et on peut s'arrêter là.

-- si la première case grattée est 1 on a perdu 9€ si on s'arrête, est ce qu'il faut continuer à gratter ?

-- si la première case grattée est 10 on a ni perdu 9ni gagné si on s'arrête, est ce qu'il faut continuer à gratter ? 

La stratégie peut se décrire de la façon suivante :

quand faut-il s'arrêter de gratter ?

Il est à peu près évident que, tant qu'on a pas eu que des 1 il faut continuer.

Mais si les 2 premières cases grattées sont des 10 vaut-il mieux en gratter une troisième ou se contenter d'un gain de 90€ ?

C'est la question.

Et bon courage pour les réponses.
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 01:59
Posté par Daniel62 Daniel62

la suite,

 Cliquez pour afficher
Le joueur a déjà gratté 3 cases, et n'a pas encore eu de zéro

va-t-il continuer ?

3 cas:

  - il a gagné 1€

    reste: 10*6/33 + 1*7/33 = 67€/33 .... il continue

  - il a gagné 10€

    reste: 100*5/33 + 10*7/33 = 570€/33 .... il continue

  - il a gagné 100€

    reste: 1000*4/33 + 100*8/33 = 4800€/33 .... il continue

il gratte 4 cases:

    36*35*34*33 = 1413720 cas

    pour gagner il faut 10 ou 1 (0 est exclu)

    4 fois 10: 6*5*4*3*10000€ =  3 600 000€

    3 fois 10: 6*5*4*9*4*1000€ = 4 320 000€

    2 fois 10: 6*5*9*8*6*100€ =   1 296 000€

    1 fois 10: 6*9*8*7*4*10€ =       120 960€

    0 fois 10: 9*8*7*6*1€ =              3 024€

    total = 9 339 984€ pour 1413720 cas

    pour 1413720 grilles vendues:

         - prix des grilles = 14 137 200€ 

         - gain des joueurs = 9 339 984€

         - sommes reversées = 9339984/14137200  0,660667  soit 66,07 %
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 02:35
Posté par Daniel62 Daniel62

toujours la suite,

 Cliquez pour afficher

Le joueur a déjà gratté 4 cases, et n'a pas encore eu de zéro

va-t-il continuer ?

4 cas:

  - il a gagné 1€

    reste: 10*6/32 + 1*5/32 = 65€/32 .... il continue

  - il a gagné 10€

    reste: 100*5/32 + 10*6/32 = 560€/32 .... il continue

  - il a gagné 100€

    reste: 1000*4/32 + 100*7/32 = 4700€/32 .... il continue

  - il a gagné 1000€

    reste: 10000*3/32 + 1000*8/32 = 38000€/32 .... il continue

il gratte 5 cases:

    36*35*34*33*32 = 45239040 cas

    pour gagner il faut 10 ou 1 (0 est exclu)

    5 fois 10: 6*5*4*3*2*100000 =     72 000 000€

    4 fois 10: 6*5*4*3*9*5*10000€ =  162 000 000€

    3 fois 10: 6*5*4*9*8*10*1000€ =   86 400 000€

    2 fois 10: 6*5*9*8*7*10*100€ =    15 120 000€

    1 fois 10: 6*9*8*7*6*5*10€ =           907 200€

    0 fois 10: 9*8*7*6*5*1€ =                  15 120€

    total = 336 442 320€ pour 45239040 cas

    pour 45239040 grilles vendues:

         - prix des grilles = 452 390 400€

         - gain des joueurs = 336 442 320€

         - sommes reversées = 336442320/452390400  0,7437  soit 74,37 %

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 09:45
Posté par jandri jandri 

Bonjour,

On peut calculer l'espérance de la variable aléatoire  égale au gain obtenu pour un grattage de k cases puis choisir k tel que ce gain soit maximum:
 Cliquez pour afficher

.

En effet le gain n'est non nul que si on obtient i fois une case à 10€ et k-i fois une case à 1€.

Un calcul à la machine donne les valeurs suivantes (arrondies au centime):

1,92 ; 3,30 ; 5,01 ; 6,61 ; 7,44 ; 7,02 ; 5,50 ; 3,57 ; 1,91 ; 0,85 ; 0,30 ; 0,09 ; 0,02 ; 0. 

La meilleure stratégie consiste à faire 5 grattages.

Si tous les joueurs choisissent cette stratégie, 74,4% des sommes versées seront reversées aux joueurs. 

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 12:43
Posté par Louisa59 Louisa59

Bonjour

verdurin, merci 

Daniel, merci pour avoir tout détaillé 

jandri, le même résultat que Daniel, mais l'écriture 

je la comprends pas du tout 

Merci à tous 
 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 16:43
Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour,

suite et conclusion

 Cliquez pour afficher

erreur dans les messages précédents:

Le joueur a déja gratté 3 cases:

il y a un 4ème cas:

  - il a gagné 1000€

    reste: 10000*3/33 + 1000*9/33 = 39000€/33 .... il continue

Le joueur a déja gratté 4 cases:

il y a un 5ème cas:

  - il a gagné 10000€

    reste: 100000*2/32 + 10000*9/32 = 290000€/32 = 9062,5€

    9062,5 est inférieur à 10000

     le joueur s'arrête

on s'aperçoit qu'à partir de 4 cases grattées contenant le nombre 10, le joueur n'a plus intérêt à continuer.

ce qui donne la stratégie suivante:

  - si la case grattée est 0  il a perdu

  - si la case grattée est 1  il continue

  - si la case grattée est 10  il continue jusqu'à un maximum de 4 cases contenant 10

calcul:

  les cases contenant 1 ne jouent aucun rôle, le joueur continue normalement sans s'en occuper

  le calcul s'en trouve simplifié, on peut considérer qu'il y a 27 cases (6 + 21)

  pour avoir 4 cases contenant 10, la probabilité est:

  6/27 * 5/26 * 4/25 * 3/24 = 360/421200 = 1/1170

  pour 1170 grilles vendues, il y aura un seul gagnant

  prix des grilles = 11700€

  gain du gagnant = 10000€

  sommes reversées: 10000€ * 100) / 11700  85,47%

réponse arrondie au dixième = 

ceci est la réponse exacte

on peut calculer la probabilité pour 5 cases contenant 10

6/27 * 5/26 * 4/25 * 3/24 * 2/23 = 720/9687600 = 1/13455

1 gagnant pour 13455 grilles vendues (moins de gagnant que pour 4 cases)

sommes reversées = 100000€ * 100 / 134550  74,3 % (est inférieur à 85,5%)

ce qui prouve que le joueur a intérêt à s'arrêter à 4 cases de 10,

pour un gain de 10000€ maximum (moins bien sûr les 10€ pour l'achat de la grille)

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 19:56
Posté par Louisa59 Louisa59

Bonsoir Daniel

J'ai encore du boulot alors pour bien comprendre ça

Merci à toi ainsi qu'à tous ceux qui sont intervenus

Louisa

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 23:05
Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Louisa.
 Cliquez pour afficher
Le joueur peut continuer tant que son espérance de gain est positive, c'est-à-dire tant que le nombre de 10 restant est plus de 1/9 du nombre de 0 restant.

Donc, il s'arrêtera après quatre 10.

On fera abstraction des cases 'neutres', qui contiennent 1.

Il y a 27*26*25*24/4! = 17550 tirages possibles de quatre cases non neutres.

Il y a 6*5*4*3/4! = 20 tirages qui rapporte 10000 €.

Pour 17550 billets à 10 €, il y a 20 distributions de 10000 €.

200000/175500 = un peu moins de 114% seront reversés aux joueurs.

En réalité, beaucoup hésiteront à risquer 1000 € avec une probabilité de perte de 7/8, même si l'espérance au tirage suivant est en leur faveur.

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 23:13
Posté par Daniel62 Daniel62

plumemeteore >>

 Cliquez pour afficher
6*6*4*3/4! = 360/24 = 15 tirages

150000/175500  0,8547

soit 85,5%

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 10-02-10 à 23:13
Posté par jandri jandri 

Bonsoir à tous,

Pour Louisa: dans ,  désigne le coefficient binomial .

La solution que j'ai proposée ne répond pas exactement au problème tel qu'il est posé car j'ai imposé de choisir le nombre de grattages avant de jouer.

Si on choisit d'arrêter de gratter en fonction des résultats obtenus, la meilleure stratégie est celle proposée par Daniel:
 Cliquez pour afficher
Comme les tirages de 1 ne changent rien, on ne considère que les 6 cases donnant 10 et les 21 cases donnant 0.

Au (k+1)ème tirage, il a déjà ; il obtient 0 ou bien 10 (avec la probabilité ). Son espérance conditionnelle de gain à l'issue du (k+1)ème tirage est donc égale à ; elle est inférieure à  si , c'est-à-dire k au moins égal à 4. La meilleure stratégie est donc de gratter jusqu'à ce qu'on ait obtenu 4 cases 10 (si on n'obtient pas de 0) puis de s'arrêter. 

L'espérance de gain est alors égale à . C'est donc 85,5% des sommes jouées qui seront reversées aux gagnants.

 re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 11-02-10 à 20:12
Posté par Louisa59 Louisa59

Bonsoir

Daniel

et merci beaucoup jandri

Citation :
 
le   dis-moi c'est quoi ? Merci 
  re : Exercice % du magazine Tangente Posté le 11-02-10 à 20:59
Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Le nombre de parties à 4 éléments dans un ensemble qui en contient 6.
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