Maths financières : Emprunt

Posté par Fayen Fayen

Bonjour,

j'essaie de résoudre un exercice sur la comparaison de divers financements.

"On fait un emprunt auprès d'une banque au taux de 6,1% avec remboursement mensuel par amortissement constant pendant 5 ans, montant de l'emprunt : 30500€"

Les questions : "Si le particulier choisit le remboursement par amortissement constant, quelles seront les mensualités ? Quels seront les taux annuel et mensuel équivalents ? Quel sera le coût du crédit ?

Alors déjà je pose mon problème : on rembourse 508,33€ de capital pendant 60 mois (amortissement de 30500), 30500-(508,33*60)=0,2 à cause des arrondis, donc à la dernière période je paierai 508,53€ d'amortissement.

On paie la mensualité en fin de période n/ début période n+1 donc par exemple pour la 1ère période je paie les intérêts sur 30500€, et la dernière période (n=60) je paie sur 508,53€. Est-ce le bon raisonnement ?

Donc les intérêts à payer pour la période n sont obtenus par : Capital restant dû période n-1 * (0,061/12). [Ou alors capital dû période n, peu importe]
Donc pour la période 3 on aurait : (30500-508,33*2)*(0,061/12)=149,87€ d'intérêts
Soit une mensualité de 508,33+149,87=658,2€

1/ Donc on en vient au résultat suivant :
Mensualité période n = (Capital restant dû période n-1)*(0,061/12)+508,33 [Sauf pour la dernière période]

Le coût du crédit : Il est égal à la somme des intérêts à payer de chaque période, donc suite arithmétique :
Intérêts totaux = Somme de 1 à 60 du (capital restant dû période n-1)*(0,061/12)
Ce qui fait
60*([30500+508,33]/2)*(0,061/12)=4728,77   [J'ai pas pris en compte l'erreur d'arrondis]

Le coût du crédit est donc de 4728,77€

Et maintenant on me parle de taux mensuel/annuel équivalents... et je n'y comprends plus rien, je croyais que c'était pour les intérêts composés ça ? Moi je fais des intérêts simples.
Donc j'aurais dit taux annuel : 0,061 et taux mensuel : 0,061/12.
On appelle ça un taux proportionnel si je ne me trompe pas.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour mon dernier point et me dire si je m'y prends bien dans mes "calculs" ?


Merci

Posté par Fayen Fayen

Je suis parti dans le sens des intérêts composés :
On cherche un taux équivalent mensuel que je note tem
J'ai fait
(30500*tem)(1+tem)^60=30500*(taux périodique mensuel)=155,041667

après quelques manipulations et une approximation j'obtiens tem=0,0040005 soit 0,40005% de taux équivalent mensuel.
Je teste ce chiffre
30500*tem=122,01525 et j'applique les intérêts composés
122,01525*(1,0040005)^60=155,041667.

Avec ce taux j'obtiens bien la même somme d'intérêts.. mais je suis vraiment pas sûr que ce soit ce qu'on attendait de moi

Posté par pythamede pythamede

Je m'apprêtais à répondre à ton premier message. Mais je ne comprends pas ce que tu calcules dans le deuxième.

Pour parler d'abord du deuxième...

Le taux mensuel est théoriquement lié au taux annuel par la formule :



Donc

Si le taux annuel est 6,1%, on trouve :



Mais la plupart des banques trichent à ce niveau. Prétextant que le taux mensuel est tout simplement du taux annuel, soit dans ce cas . Ceci permet à la banque de faire de substanciels bénéfices. Tant que le taux est faible (bon, 6,1 % c'est pas très grand !), la différence est faible (0,508333333 est effectivement peu différent de 0,49465154488, mais cela suffit à obtenir un résultat faux sur ton problème !!!). Mais lorsque j'ai acheté ma maison (en 1982, c'était des taux horribles !!!) ma banque a prétendu que le taux de mon prêt était 14%. En fait, je me suis aperçu en faisant les calculs, qu'ils avaient pris un taux mensuel de (14/12) % ce qui ne correspond pas à 14%, mais plutôt à 14,93 % !!!

Cette pratique déloyale (inconnue hors de France) a semble-t-il été interdite il y a quelques années par une directive européenne. Mais elle subsiste pour les prêts à court terme en France (c'est en tous cas ce que j'ai compris).

Donc, pour commencer, il faudrait savoir si le taux mensuel de ton prêt correspond exactement à 6,1% annuel, c'est à dire, a été calculé par la formule ci-dessus (donc !) ou si au contraire, elle fait référence à la pratique courante en France pour les prêts à court terme, c'est à dire que le taux mensuel à prendre en compte serait (6,1/12), soit 0,508333333 % (ce qui correspondrait donc en fait à un taux de 6,27% l'an).

S'agissant d'un cours de licence, j'imagine que tu dois faire le calcul avec le taux mensuel correct, soit .

Qu'en penses-tu ?

Je n'ai pas du tout répondu pour l'instant à ton premier post, mais sache que le raisonnement est inexact : ce n'est pas du tout comme cela qu'il faut faire les calculs !

Posté par pythamede pythamede

Je n'ai pas commenté ton calcul...

La formule donnant le tem est celle que j'ai donnée ci-dessus, ça c'est sûr !

Ton calcul fait intervenir la somme empruntée ainsi que le nombre de mensualités, ce qui n'a pas de sens : le tem ne dépend que du taux annuel, absolument pas de la somme empruntée, ni du nombre de mensualités. Pour ce qui concerne la somme empruntée (30500), cela se voit d'ailleurs dans ta formule car la relation :

(30500*tem)(1+tem)^60=30500*(taux périodique mensuel)

est évidemment strictement équivalente à la formule :

tem(1+tem)^60=(taux périodique mensuel)

Par contre, le nombre de mensualités (60) n'a pas non plus à intervenir dans le calcul du taux mensuel : cela ne dépend pas du prêt contracté !
En outre, je ne sais pas ce que signifie "taux périodique mensuel". Par conséquent, il me semble que ta formule est très bizarre...

Posté par pythamede pythamede

Quelques commentaires sur ton premier post !



L'argent n'a pas d'odeur ! Un euro de capital, c'est exactement la même chose que 1 euro d'intérêts !

Par conséquent, dire que l'on rembourse 1/60 du capital à la première mensualité, c'est une convention pure et simple. Pourquoi pas ? Mais en tous cas, si tu considères que tu as remboursé 508.33 euros lors de la première mensualité, alors tu n'as remboursé que (R-508.33) euros d'intérêts (si R est la mensualité), alors que l'intérêt s'élève à C*t_m/100 (si t_m est le taux mensuel) : le calcul risque de se compliquer sérieusement... La suite de ton raisonnement ne semble pas prendre cela en compte...

Les banques, raisonnent (apparemment) différemment. Dans les plans d'amortissements des prêts que j'ai contractés, les chiffres étaient présentés de la manière suivante. Sur chaque ligne était indiquée la somme restant due (ils appelaient cela le capital restant dû) au début de la période (donc la première ligne commençait par 30500, puisque c'est exactement la somme due au début). A côté figuraient les intérêts de la période, c'est à dire le produit du capital restant dû par le taux d'intérêt. Ici cela ferait 30500*t_m, soit 150,87. La colonne suivante était l'amortissement, c'est à dire la différence entre la mensualité (par exemple 588,74) et les intérêts 150,87. L'amortissement est donc 437,87. Enfin une dernière colonne indique la somme restant due après le paiement, ici 30500 (somme restant due au début de la période) - 437,87 (amortissement), ce qui fait que la somme restant due devient 30062,13. La ligne suivante commençait par 30062,13...

Cela veut dire que la banque considère que l'on paie immédiatement les intérêts du mois sur la totalité de la somme restant due, et que le reste sert à diminuer le capital dû. Comme le capital dû diminue (en principe !), cela signifie que l'on paie au début beaucoup d'intérêts et que l'on amortit peu, alors qu'à la fin on paie peu d'intérêts car on ne doit plus grand-chose et l'amortissement est plus important à la fin.

Personnellement, je préfère une autre approche. Je préfère considérer qu'à chaque mensualité je rembourse une partie du capital de départ avec les intérêts y afférents. Par conséquent, la première mensualité, je rembourse du capital dont je considère qu'il ne m'a été prêté qu'un seul mois, et donc je paie peu d'intérêt et beaucoup de capital. Au contraire, à la dernière mensualité, je rembourse une partie de capital qui m'a été prêtée pendant 60 mois. Donc la part des intérêts est beaucoup plus importante : je rembourse à la fin peu de capital et beaucoup d'intérêts.

Comme l'argent n'a pas d'odeur, je dis que cela même strictement aux mêmes résultats : c'est juste une autre façon de voir les choses, façon qui a l'avantage de faciliter grandement les calculs. Dans l'un et l'autre cas, le calcul aboutit à la relation suivante entre C, le capital prêté, R, la mensualité, t_m', le taux mensuel multiplié par 100, et n, le nombre de mensualités :



Donc, une fois que tu te seras fait une religion en ce qui concerne le taux mensuel (le vrai taux 0,49465154... ou le faux 0,50833333... ?), tu n'auras qu'à appliquer cette formule pour trouver R.

Posté par Fayen Fayen

Tout d'abord merci pour les explications, c'est très clair.

Déjà oui effectivement je suis en L1 Economie-Gestion mais c'est une sorte de mini-mémoire noté de maths, le problème étant que nous n'avons jamais vu de mathématiques financières, donc taux équivalent, taux mensuel... je vais finir mon TD de microéconomie et après je me replonge dans cet exercice jusqu'à temps que je comprenne tout.

A très bientôt donc

Posté par Fayen Fayen

D'ailleurs pythamede je ne l'ai pas précisé au départ mais le prof en début d'année parlait des sujets que nous aurions au 2nd semestre (il y en a une dizaine) et il a dit à propos du mien quelque chose comme : "ça fait à peu près 8 ans que je donne ce sujet chaque année mais personne n'a jamais mis le doigt sur le fait que le taux nominal est égal au taux.... et là je ne me souviens plus du reste, mais il me semble qu'il parlait du taux actuariel/équivalent. En tout cas je sais qu'il y a un piège quelque part et c'est probablement la question que tu as pointé du doigt.

Je me remets à plancher dessus ^^

Posté par Fayen Fayen

Autre précision : ta formule me permet d'obtenir une mensualité constante mais dans l'exercice on me dit qu'il faut amortir le capital de façon constante, donc 1/60ème à chaque période.
Je ne comprends pas vraiment pourquoi tu dis que c'est une convention car dans mon raisonnement :

On paie les intérêts de la période en fonction du capital dû à cette même période et le capital dû à une période est égal au capital initial - l'amortissement cumulé du capital.
Avec ce raisonnement j'obtiens des montants différents de celui que je pourrais avoir avec ta formule.
Par contre mon problème a très vite été résolu avec une suite arithmétique

Maintenant là ou je coince c'est pour savoir quels sont les taux mensuel/annuel équivalents (tu sembles me faire comprendre que je ne peux pas le savoir, si ce n'est en faisant l'hypothèse que la banque donnerait un taux de 6,1% qui ne serait en fait pas bon.. pour justement engranger davantage d'intérêts).

Sauf que l'énoncé ne précise rien et dans la question on me demande le taux annuel/mensuel équivalents, et que le prof a fait comprendre qu'il y avait un gros piège... donc j'ai l'impression de passer à côté de quelque chose

Posté par pythamede pythamede

Je suis plutôt matheux qu'autre chose. En particulier, je ne connais quasiment rien aux finances... En fait, tout ce que je sais dans ce domaine, je l'ai trouvé par moi-même lorsqu'il s'est agi de savoir à quelle sauce je serai mangé lorsque j'ai dû emprunter de l'argent...

Et par conséquent, je ne connais pas très bien la signification des différents vocables utilisés dans ce domaine : taux d'intérêts (évidemment, expression floue, vu le grand nombre d'acceptions possibles), taux nominal, TEG, valeur actuelle, valeur future, etc...

Je peux te dire ce que je crois savoir :

Pour moi, pour une période donnée, il n'y a qu'un seul taux d'intérêt : c'est le loyer de l'argent !

Si tu empruntes une somme C pendant un an et que la banque te réclame au bout d'un an une somme C+I, alors l'intérêt est I, le taux d'intérêt par an est I/C, ou [(I/C)*100] %. Voilà !

Malheureusement, il est bien rare que tu empruntes pour exactement un an et que tu rembourses en une seule fois...C'est ce qui permet à la banque de jouer sur les mots et d'introduire de nouvelles définitions.

D'abord, les salaires étant payés le plus souvent mensuellement, un prêt personnel est naturellement remboursé partiellement chaque mois. Ça, ce n'est que de la prudence élémentaire de la part de la banque : il est plus facile de payer 500 euros chaque mois, que de payer 6000 euros d'un coup chaque année...Donc, c'est juste de la prudence.

Mais on sait que les intérêts sont eux-mêmes générateurs d'intérêts. Si tu empruntes 10000 euros au taux de 10% l'an et que tu ne paies rien pendant un an, au bout d'un an, tu dois 11000 euros : les 10000 euros initiaux, et 10000*10/100=1000 euros d'intérêts. Tu peux te libérer de ta dette en payant 11000 euros à la banque et c'est terminé ! Tu peux aussi payer 1000 euros seulement : ta dette devient 11000-1000=10000, tu dois encore 10000 euros. Si tu payes 2000 euros, ta dette devient 11000-2000=9000 euros. Tout cela est extrêmement simple et évident.

Mais si tu ne paies rien, les 11000 euros que tu dois vont générer de l'intérêt : 10% de 11000 euros, ça fait 1100 euros, et la dette à la fin de la deuxième année sera devenue 11000+1100 soit 12100 euros. Il apparaît donc que les intérêts sur deux ans ne sont pas le double des intérêts sur un an. Les intérêts sur deux ans sont 21% !

On peut dire que si l'on pose t=0,1, les intérêts au bout d'un an sont Ct, tout simplement, mais que cela revient à multiplier la somme totale due par 1+t, (1+0,1), soit 1,1. Si tu ne paies rien à la fin de la première année, la somme due au bout de deux ans devient C*(1,1)*(1,1) soit C*(1,1)² ou C*1,21. D'où les 21% !

Il est clair que si t₁ désigne le taux d'intérêt sur un an et t₂ le taux d'intérêt sur deux ans, alors : (1+t₁)²=1+t₂

De même, si t_n désigne le taux d'intérêt sur n années, on aura (1+t₁)ⁿ=(1+t_n). Ce raisonnement est relativement accepté par tout le monde. Mais il est logique d'appliquer ce raisonnement pour des fractions d'années. Si t_m est le taux d'intérêt sur 1 mois, le taux d'intérêt sur un an, c'est à dire sur 12 mois, qui est t_a, est donc donné par la relation :

(1+t_m)¹² = (1+t_a)

La valeur de t_m n'est pas le douzième de celle de t_a ! Elle en est proche, mais ce n'est pas égal !

Par exemple, si t_a=0,1 (10%), on trouve t_m=0,0079741404289...(0,797... %), alors que t_a/12=0,00833333333. Au contraire, si t_m est considéré comme étant égal à t_a/12, alors cela correspond en fait à un taux annuel réel de 0,104713067... (10,47 %). Alors c'est là-dessus que joue la banque.

Pour simplifier, prenons l'exemple d'un taux de 12%. La banque va dire que le taux nominal est 12%, et va en déduire sans rougir que cela correspond à 1% par mois. Mais elle va faire tous les calculs avec ce taux de 1% par mois, ce qui correspond en fait à un taux de 1,01¹²-1 soit 0,12682503... (12,68%).

Il existe aussi ce que l'on appelle le TEG, ou Taux Effectif Global. Il est différent car il prend en compte d'autres échanges d'argent, notamment, les frais d'assurance, et les frais de dossier (faut bien payer les actuaires !). Laissons de côté les frais d'assurance. Si la banque te propose un prêt de 100000 euros sur quinze ans au taux nominal de 12%, alors le vrai taux, le seul que j'admets, est 12,68%, car le vrai taux appliqué dans les calculs sera 1% (sauf si la banque est devenue honnête !).

Il y aura 12*15, soit 180 paiements de 1200,17 euros

Mais la loi impose à la banque d'afficher le TEG qui est le taux en tenant compte de tous les échanges d'argent. En fait la banque va te faire payer des frais de dossier au moment du prêt : par exemple 1000 euros (en fait je ne sais pas à combien cela peut revenir, mais bon !). Par conséquent, au lieu de te prêter 100000 euros, puisque tu dois payer immédiatement 1000 euros de frais, tout se passe comme si la banque t'avait prêté non pas 100000 euros, mais seulement 100000-1000 soit 99000 euros. Eh bien le taux effectif global estime le vrai taux si l'on suppose que la banque ne t'as prêté que 99000 euros et te contraint à payer 180 mensualités de 1200,17 euros. Cela correspond à un taux d'intérêt légèrement supérieur (puisqu'il s'agit d'un prêt d'une très grosse somme à long terme et que les frais de dossier sont relativement négligeables par rapport à cette somme), alors que dans un prêt à court terme d'une somme modérée, le TEG sera sensiblement supérieur au taux dit "nominal". Le TEG est alors 0,0101567...par mois, soit 0,12892485.. par an (soit 12,89%). Bizarrement, ce TEG est calculé correctement par les banques ...

En résumé, la banque affiche 12%, elle pratique en fait le taux de 12,68% et elle affiche 12,89% pour le TEG !

Le vrai taux est 12,68%, le vrai taux effectif global est bien 12,89%, mais le taux nominal 12% ne correspond absolument à rien !

Ce qu'il faut retenir est que chaque euro dû est générateur d'intérêts. En l'absence d'échange d'argent, la somme due suit une courbe exponentielle.

Dans le cas du prêt ci-dessus, en négligeant les frais de dossier, au bout d'un mois les 100000 euros sont devenus 101000 euros : 100000 euros au départ, et 1000 euros d'intérêts. Tu paies la mensualité 1200,17 euros, donc tu ne dois plus que 101000-1200,17 soit 99799,83 euros. Rien ne t'empêche de considérer que tu as remboursé 1/180 de ton capital, soit 555,55 euros, et 642,62 euros d'intérêts. Tu peux alors considérer que tu dois encore 100000-555.55 soit 99444,45 euros de capital et 1000-642,62 soit 355.38 euros d'intérêts. Mais alors, les 99444.45 euros de capital vont générer de l'intérêt et les 355.38 euros d'intérêts non encore payés vont eux aussi générer de l'intérêt. C'est pour cela que je dis que l'argent n'a pas d'odeur : tu dois 99444.45+355.38 soit 99799,83 euros, qui est bien égal à la somme due en fin de mois (101000) de laquelle on a soustrait ce que tu as payé (1200,17) : 101000-1200.17=99799,83

En résumé, cela ne me dérange nullement que tu considères devoir 99444.45 euros de capital et 355.38 euros d'intérêt, mais ce n'est qu'une convention. Un euro de capital et un euro d'intérêt, c'est un euro, point barre. Cet euro, tu le dois et il va générer de l'intérêt tant que tu ne l'auras pas remboursé. Tu dois en tous cas 99444.45+355.38 soit au total 99799.83 euros !



Je pense que ton exercice veut simplement dire par là que la somme payée chaque mois est toujours la même. "amortir" un prêt cela peut vouloir dire, tout simplement, régler sa dette. L'exercice veut dire que l'on règle sa dette en payant toujours la même somme chaque mois pendant 60 mois ! Il est en effet indispensable pour que puisses faire des calculs, de préciser quelles sommes tu dois payer quand. Certains prêts sont remboursés par tranche : par exemple, 1000 euros par mois pendant 1 an, puis 1200 euros pendant deux ans, etc... L'exercice, se contente de préciser que le mode de remboursement est "remboursement constant" soit la même somme pendant 180 mois. A toi de calculer donc à combien doit s'élever cette somme pour que la dette s'éteigne exactement après 180 mensualités !

Posté par pythamede pythamede



Ceci est inexact ! On paie les intérêts en fonction de la somme restant due ! Si tu considères que tu as payé 30500/60 soit 508,33 euros de capital et donc qu'il ne te restes à payer que 30500-508,33=29991,67 euros de capital, tu ne dois pas oublier que tu n'as par conséquent pas payé la totalité des intérêts que tu devais et par conséquent que tu devras payer des intérêts sur les intérêts du premier mois que tu n'as pas encore réglés !

D'ailleurs, il n'y a absolument aucune suite arithmétique dans les calculs ! Il n'y a que des suites géométriques !

Donc tu n'as pas résolu rapidement ton problème avec une suite arithmétique ; tous tes résultats sont faux, pour l'instant. Désolé de te dire ça, mais c'est la pure vérité !

Posté par Fayen Fayen

Merci pour tes explications encore une fois très claires,

alors en fait je me rends compte que depuis le début le problème c'est le manque d'informations. J'ai donc lu ce que tu m'as mis et pour être fixé j'ai demandé au chargé de TD ce qu'ils voulaient voir dans l'exercice. Il m'a répondu que les mensualités n'étaient pas constantes car l'exercice perdrait tout son intérêt pour le citer.

Il reste toujours le problème du taux, est-ce que je dois appliquer le taux de 0,4946% (donc on aurait un taux mensuel équivalent de 0,4946% et taux annuel équivalent de 6,1%) ou partir du principe qu'ils vont faire 6,1%/12=0,50833% et alors on obtient un taux équivalent de 6,27%. Je ne sais pas si c'est moi qui manque de logique ou si il est réellement "impossible" de dire ce qu'attend notre professeur, car si j'ai bien compris on peut très bien admettre que la banque va "tricher" ou admettre que la banque va calculer de façon correcte.


Pour en revenir à l'emprunt, on va admettre le taux de 0,4946% mensuel et je te dis ce que j'obtiens :

On rembourse 508,33€ de capital par mois sur 60 mois pour bien arriver à 30500€. On paie les intérêts sur le capital restant dû

Donc pour la 1ère mensualité : je dois payer 30500*0,4946% + 508,33 = 659,183
Pour la 10ème mensualité : Je dois payer (30500-(9*508,33))*0,4946% +508,33 = 636,555
Pour la n-ième mensualité : Je dois payer (30500-(n-1)*508,33)*0,4946% + 508,33

Donc le coût du crédit est égal à la somme des intérêts payés (qui sont intégralement payés à l'échéance si mon raisonnement est bon selon l'hypothèse du chargé de TD).
La somme des intérêts payés est alors une suite arithmétique (non ?) qu'on peut écrire :
0,004946[30500+(30500-508,33)+(30500-(508,33*2))+...+(30500-(n-1)*508,33)]
Soit (0,004946*60*(30500+508,33))/2 = 4601,016

Donc un coût du crédit de 4601,016.

Que penses-tu de ce que j'ai fait ? Je crois avoir très bien compris ce que tu me disais, mais en partant de ce que m'a dit le chargé de TD, ils ne veulent pas qu'on utilise les mensualités constantes. (qui fait bien appel à une suite géométrique comme tu me l'as dit)

Posté par Fayen Fayen

Et d'ailleurs je comprends mieux maintenant pourquoi tu me disais que l'argent n'a pas d'odeur.. on partait effectivement dans des directions différentes, et pour moi les intérêts étaient intégralement payés à l'échéance, donc j'avais du mal à saisir ou tu voulais en venir. Enfin j'espère avoir bien compris

Posté par pythamede pythamede

J'ai compris. Je ne peux pas te répondre ce soir, ni demain. J'essaierai de répondre dimanche.

Bon week-end quand même !

Posté par Fayen Fayen

Bon week end et merci de ton aide

Posté par pythamede pythamede



Oui ! Là, je ne peux pas t'aider ! Un moyen de trouver, c'est peut-être de te plonger dans tes cours... Il n'est pas impossible que précisément le professeur t'ait enseigné qu'un prêt au taux nominal de 6,1%, c'était (c'est une supposition de ma part : je soupçonne que ce que l'on appelle taux nominal, c'est 12 fois le taux mensuel, mais je n'en suis absolument par certain !) un prêt "par convention très largement partagée par l'ensemble des banques" au taux réel de 6,1/12 % par mois, c'est à dire au taux réel annuel de ! Si ce n'est pas le cas, tu pourras soit faire les deux calculs, soit tirer à pile ou face...


Certes, mais reste le problème des intérêts !

C'est toi qui le dis, ou c'est ton professeur ? Dans ce dernier cas, c'est clair ! Mais si c'est toi qui le dis, je te signale que l'on peut tout imaginer pour les intérêts ! On pourrait très bien imaginer de ne payer les intérêts qu'avec le dernier versement, ou bien avec le premier ! Ou alors de payer les intérêts par une somme constante chaque mois (ce qui revient bien sûr, à avoir des versements constants ! Mdr !) (évidemment, selon l'interprétation choisie, le total des intérêts, et donc le cout du crédit serait différent - normal puisque les remboursements seraient différents !). Parmi cette variété infinie de possibilités, il y en a une que j'affectionne : c'est celle de rembourser à chaque fois les intérêts correspondant au capital remboursé.

Voyons ces deux cas :

D'abord ton interprétation. Chaque mois, on rembourse C/n (C le capital, n le nombre de mensualités) et les intérêts sur la totalité du capital restant dû : Ct le premier mois (t étant le taux d'intérêt ramené à un nombre entre 0 et 1, soit ici t=0,004946 ou t=0,0050833 selon l'option que tu auras choisie).

Le calcul est alors très simple, et donne effectivement lieu à une suite arithmétique !

Après k mois, avant de payer la k-ième mensualité, on a donc remboursé (k-1) fois C/n. Le capital restant dû est donc C-(k-1)C/n ou C[1-(k-1)/n] ou encore C[n-k+1]/n. Le k-ième versement est donc constitué des intérêt sur cette somme C[n-k+1]/n pour un mois, soit Ct[n-k+1]/n et de la part 1/n du capital : C/n. Au total :



Il est clair que est une suite arithmétique, puisque qui est une constante. Tu as raison !






et


La somme totale payée est donc dans ce cas :



La somme différence entre le total des sommes versées et le capital initial constitue le coût du crédit.

Voyons à présent une autre interprétation qui pourrait être prise.

Chaque mois, on rembourserait 1/n du capital avec seulement les intérêts liés à ce capital.

Ainsi la somme C/n, capital remboursé après un mois, serait accompagnée des intérêts qu'elle a générés : CT/n, au total cela ferait (C/n)(1+t)
La somme C/n, capital remboursé après deux mois, serait accompagnée des intérêts qu'elle a générés :
La somme C/n, capital remboursé après k mois, serait accompagnée des intérêts qu'elle a générés :
La somme C/n, capital remboursé après n mois, serait accompagnée des intérêts qu'elle a générés :

On aurait donc comme somme totale payée :


Il va de soi que le taux annuel équivalent en pourcentage serait dans tous les cas le nombre tel que :

soit

et que le résultat dépendrait de la valeur de t que tu auras choisie (t=0,004946 ou t=0,0050833 selon ta décision).

Posté par Fayen Fayen

Ta vision est bien plus séduisante que la mienne, par contre encore une fois bonjour pour savoir ce que le prof attend.. car on n'a jamais eu AUCUN cours de gestion (je suis en L1) ni rien du tout sur les emprunts, actualisation, taux d'intérêt.. c'est plutôt un exercice de recherche sur Internet/livres qu'on nous a donné.

Je vais peut-être poser une question bête, mais ça me turlupine un petit peu. Dans ta méthode et dans celle à mensualités constantes, on fait appel aux intérêts composés, donc comme tu l'as dit : l'argent n'a pas d'odeur. Si on a une mensualité constante de 700€ et que par exemple le premier mois les 508,33€ de capital ont créé 300€ d'intérêts, on ne paiera qu'une partie des intérêts, et la partie non-payée des intérêts ira se rajouter au capital restant dû, qui servira lui-même à calculer les intérêts sur la prochaine période... et donc on a des intérêts composés et une suite géométrique.

Sauf que dans ma méthode, il s'agit d'intérêts simples car ceux-ci sont payés à la fin du mois, et la suite est arithmétique. Dès lors, pourquoi utilise t-on un taux équivalent ? Je croyais que ça ne s'appliquait qu'aux intérêts composés et que pour les intérêts simples on utilisait le taux proportionnel.

Par taux proportionnel, j'entends que le taux proportionnel mensuel du taux d'intérêt 6,1% c'est 6,1%/12=0,5083%.

Posté par pythamede pythamede

Les intérêts simples, ça n'existe pas !

Comme je te l'ai déjà précisé, de l'argent prêté suit en permanence une exponentielle. Toute somme due est génératrice d'intérêts ! Le phénomène des intérêts composés peut bien être caché, mais il est toujours là !

Si un taux d'intérêts est de 6,1 % l'an, la somme due a tout instant est égale à , jusqu'à ce qu'un remboursement viennent faire un saut brutal de S(t) vers le haut (s'il y a emprunt supplémentaire) ou vers le bas (s'il y a remboursement). Si l'on admet, pour simplifier qu'une année comporte 12 mois de 30 jours, soit 360 jours, et que le temps t est compté en jours, alors la valeur de est telle que , ce qui signifie que :

,

donc, que

ou encore

Pour t=180 (jours) on a
et
...
Cela correspond à 3,004854 % qui, bien sûr n'est pas la moitié de 6,1 %.

Pour t=30 (jours) on a
et
...
Cela correspond à 0,494651 % qui, bien sûr n'est pas le douzième de 6,1 %.

J'ai dit que ce phénomène pouvait être caché ! Ben oui, si les intérêts sont toujours payés au bout de la même période de durée k jours, la somme restant due S après un paiement, va suivre la fonction . Au bout de k jours elle sera multipliée toujours par la constante et on croira qu'il s'agit d'intérêts simples... Les intérêts simples, c'est bon pour les élèves de primaire (je me souviens avoir fait des calculs d'intérêts simples quand j'étais en CM2 !), mais dans la vie réelle, ça n'existe pas !

Je te donne un exemple.

La formule donnant le remboursement R constant d'un prêt d'un montant C initial au taux mensuel t, avec n mensualités est :



Par exemple, pour ton prêt de 30500 sur 60 mois au taux mensuel de , soit 0,0049465154... on trouve ce qui donne :

R = 588,740647...

On peut compter sur la banque pour arrondir vers le haut. Il n'y a pas de petit profit !

Est-ce à dire qu'une telle formule sera toujours approximative ? Que nenni !

Cette formule est la plus simple à appliquer (avec une calculatrice scientifique, bien sûr !), mais cela cache son caractère rationnel !





Si t est un nombre rationnel, 1+t aussi, aussi, et R est un rationnel !

Le problème c'est que, même avec un taux simple comme 10%, qui correspond à t=0,1, , , etc et et d'une façon générale, pour représenter exactement, il faut au moins n+1 chiffres. Par conséquent, dans la vie courante, on est contraint de faire des approximations...

Mais on peut inventer un cas d'école. Je propose le cas suivant. Si t=0,1 (10%) on peut imaginer un prêt sur cinq ans, avec cinq remboursement annuels. Le montant R sera égal à :



Si donc C=610510, R est exactement égal à 161051 !

Le fait que cela ne tombe pas juste n'est pas une fatalité liée à des calculs compliqués sur des exponentielles, des logarithmes, etc...

Voyons comment la banque va présenter les choses :
Numéro    Capital restant   Intérêts    Annuité Amortissement   Capital restant
annuité  dû après paiement                                                   dû après paiement  
             précédent
                                
  1          610510          61051      161051     100000          510510
  2          510510          51051      161051     110000          400510
  3          400510          40051      161051     121000          279510
  4          279510          27951      161051     133100          146410
  5          146410          14641      161051     146410               0

Elle va dire que l'emprunteur a reçu 610510. L'intérêt au bout d'un an est donc 610510*0,1 soit 61051. Comme l'annuité est de 161051, la différence avec les intérêts est 100000. Par conséquent, la somme restant due est de 610510-100000 c'est à dire 510510.

L'année suivante, elle rappelle ce qui était dû à la fin de l'année précédente : 510510, et les intérêts de cette somme : 51051. L'annuité 161051 est donc constituée de 51051 d'intérêts et de 161051-51051 soit 110000 de capital. Le capital a donc diminué et est passé à 510510-110000 soit 400510. Et ainsi de suite ! On peut alors penser que les calculs sont fait avec des intérêts simples ! Evidemment, car on calcule toujours les intérêts sur la même période, un an, et ils sont payés immédiatement à la fin de cette période : on n'a donc pas le temps de voir ce qui se passe !

Mais moi, j'ai ma propre interprétation !

Numéro     Capital   Annuité Amortissement   Intérêts      Capital   Intérêts   Total
annuité    restant                                    amortissement   restant    capital   somme
           dû après                                                        dû après   restant  restant
           paiement                                                        paiement     dû       due
          précédent


  1         610510    161051    146410        14641        464100     46410    510510
  2         464100    161051    133100        27951        331000     69510    400510
  3         331000    161051    121000        40051        210000     69510    279510
  4         210000    161051    110000        51051        100000     46410    146410
  5         100000    161051    100000        61051             0         0         0

Je peux au contraire prétendre qu'à la fin de la première année, je rembourse 146410 avec uniquement les intérêts de 146410, c'est-à-dire 0,1*146410 soit 14641. Au total, cela me fait 146410+14641 soit 161051.
Ce qui reste dû, c'est évidemment la partie du capital que je n'ai pas remboursée : 610510-146410 soit 464100 et bien sûr également les intérêts de cette somme que je n'ai pas davantage payés : 46410. Au total, je dois donc à la banque à la fin de cette première année la somme de 464100+46410 soit 510510 ! Tiens ! C'est pareil !

A la fin de la deuxième année, je décide de rembourser 133100 de capital. Comme cette somme est restée 2 ans en ma possession, il va de soi qu'elle est devenue : soit 161051. Les intérêts (tiens, ils sont composés cette fois !) sont donc : 161051-133100=27951.
Quant au capital, il est devenu 464100-133100, soit 331000. Je dois encore ce capital et aussi les intérêts de ce capital, qui s'élèvent à 69510, soit un total de 331000+69510=400510 ! Tiens ! C'est pareil !

Et ainsi de suite : la troisième année, je rembourse 121000 avec ses intérêts sur trois ans : .
la quatrième année, je rembourse 110000 avec ses intérêts sur quatre ans : .

Et la cinquième année, je rembourse 100000 avec les intérêts sur cinq ans : .

Tout se passe donc comme si j'avais fait cinq emprunts distincts.

Un emprunt de 146410 remboursé au bout d'un an : tout compris ça fait 161051
Un emprunt de 133100 remboursé au bout de deux ans : tout compris ça fait 161051
Un emprunt de 121000 remboursé au bout de trois ans : tout compris ça fait 161051
Un emprunt de 110000 remboursé au bout de quatre ans : tout compris ça fait 161051
Un emprunt de 100000 remboursé au bout de cinq ans : tout compris ça fait 161051

Il est clair qu'il s'agit alors d'intérêts composés, non ?

Il est évidemment bien plus facile de contrôler le premier tableau. Cela permet notamment à la banque de camoufler le fait que si l'intérêt par mois est t, l'intérêt par an est bel et bien , c'est-à-dire plus que 12*t. En outre, cela dispense les "vendeurs" de prêts de comprendre quoi que ce soit aux plans d'amortissement proposés par leur banque employeur (de ma vie (déjà bien longue !), je n'ai jamais rencontré une personne dans une banque qui comprenne les principes des prêts !!!) Normal, avec la présentation du plan d'amortissement, il suffit de calculer les intérêts simples !