Produit d'entiers naturels.

Posté par lapuce1716 lapuce1716

Bonjour,
Mon frère doit réaliser cet exercice mais je n'arrive pas à l'aider, je bloque complètement sur le problème.
Voici le problème :
Par combien de zéros se termine le produit des 50 premiers entiers naturels non nuls ?
Expliquez votre démarche.

Je lui ai déjà expliqué ce qu'était les nombres entiers naturels mais je ne sais comment faire, et tous les multiplier à la calculatrice ne m'avancerait à rien.

En attente de réponse, je vous remercie d'avance.

Posté par sephdar sephdar

bonsoir,

exercice pas simple en effet pour un 6ème
le titre doit "énigme" ou "défi" non?

les nombres jusqu'à 50 ne sont pas si nombreux (!) malgré tout
si on les écrit, quels sont ceux qui peuvent donner un zéro au produit?

recopie les nombres qui peuvent donner des "0"  (pas les 1, 11, 21 ni les 3, 13, ...)

il reste 10, 20, ...
et  puis 2 et 5, 12 et 15, ...

attention il y a un piège avec 25 = 55
en multipliant 25 par 2 nombres pairs on aura 2 zéros

Posté par sephdar sephdar

autre piège avec 50 = 5 5 2

Posté par lapuce1716 lapuce1716

Oula, je sens que tout cela est compliqué ^^
Je ne sais pas comment effectuer la demonstration :s
En effet il s'agit d'enigme, c'est un rallye mathématiques.

Donc si je résume, les nombres que l'on peut utiliser sont donc :
2,5,10,20,30,40,50

J'ai vraiment du mal à résoudre cette enigme, Pourtant j'aime les maths ! ^^

Posté par sephdar sephdar

un rallye mathématiques, je comprends mieux...

les nombres qui vont donner un "0" au produit sont

10, 20, 30, 40, 50 (avec le piège à éviter : 20 x 50 = 1000 )

et 2 x 5,  12 x 15,  22 x 25, 32 x 35, 42 x 45

car 2 x 5 = 10 1 zéro
12 x 15 =  2 x 6 x 3 x 5 = 180 1 zéro
32 x 35 = 2 x 16 x 5 x 7 1 zéro

avec le 2ème piège à éviter : 25
car 25 = 5 x 5 , chaque 5 peut être regrouper avec un nombre pair 2 zéros

Posté par lolo271 lolo271

Bonjour,

Pour avoir un 0 il faut 1 multiple de 10 pour avoir 2 zéros il faut 2 multiples etc...

Maintenant un multiple de 10 c'est exactement un multiple de  2 et de 5 , entre 1 et 50 le nombres de facteur 2 = N et le nombre facteur 5 = M

A-t-on avis lequel est le plus grand ? Donc il suffit de compter ? (attention au 25 et 50 comme déjà dit )

Posté par lapuce1716 lapuce1716

Désolé si je me trompe mais là ce n'est pas le plus grand qu'on me demande mais le produit des 50 premiers entiers, il faut donc prendre tous ceux qui donnent un 0 non ?

Posté par sephdar sephdar

pour un 6ème

(personnellement) je lui ferais écrire tous les nombres ou couples de nombres qui donnent des zéros au produit
(en faisant attention à 25 et à 50)

puis compter tous les zéros

indices : il y a entre 10 et 15 zéros, ça peut se compter un par un

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonsoir lapuce1716

combien de multiples de 2

  2 --> 50/2  = 25
  4 --> 50/4  = 12
  8 --> 50/8  =  6
16 --> 50/16 =  3
32 --> 50/32 =  1

total = 47

combien de multiples de 5

  5 --> 50/5 = 10
25 --> 50/25 =  2

total = 12


50! = 2⁴⁷ * 5¹² * ...

les zéros sont formés par la multiplication de 2 par 5

comme il y a moins de 5 que de 2,

le nombre de zéros ne peut que ...

Posté par sephdar sephdar

cette explication est valable pour lapuce1716 mais pas pour son frère: en 6ème on ne connaît pas les puissances

Posté par Daniel62 Daniel62

en 6ème on connait les multiplications

dans le produit des 50 premiers entiers naturels non nuls,

on trouve 47 fois le chiffre 2, et 12 fois le chiffre 5

produit = 2*2*2*2*2*2*2....*5*5*5*5*5*......*3*3*3*3....

les puissances ne sont ici qu'accessoires

ainsi que factorielle bien sûr