Vrai/faux Equation différentielle

Posté par tom_33 tom_33

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour un vrai faux concernant les équations différentielles. On considère l'équation différentielle (E) : -y'+2y=3

a) Les fonctions f solutions de (E) sont de la forme f(x)=e(-2x)+3/2
d'apres moi cela est faux d'apres le thèoreme des équations différentielles on trouve que l'ensemble des fonctions solutions est f(x)=ke(2x)+3/2

b) Toute solution de (E) a pour représentation graphique une courbe admettant la droite
d'équation y=3/2 comme asymptote au voisinage de -oo .
lim (ke(2x)+3/2-3/2)=0 lorsque x tend vers -oo d'ou l'assymptote est correcte
c) La fonction G, solution de l'équation (E) et vérifiant, pour tout réel x0 , la condition initiale
du type G(x0)=3/2 , a pour expression algébrique G(x)=3/2

En remplacant  les y et y' par G et G' on trouve bien 0=0 donc j'en déduis que c'est vrai

d) Les fonctions f solutions de (E) et satisfaisant une condition initiale du type f(0)>0 sont
strictement croissantes sur IR. Pour cette question j'en ai strictement aucune idée je me suis peut etre tromper précedemment merci de me venir en aide.

Posté par dhalte dhalte

(E) : -y'+2y=3
f(x)=ke(2x)+3/2 solution générale : OK

a) Les fonctions f solutions de (E) sont de la forme f(x)=e(-2x)+3/2
d'apres moi cela est faux OK

b) Toute solution de (E) a pour représentation graphique une courbe admettant la droite
d'équation y=3/2 comme asymptote au voisinage de -oo .
lim (ke(2x)+3/2-3/2)=0 lorsque x tend vers -oo d'ou l'asymptote est correcte
OK

c) La fonction G, solution de l'équation (E) et vérifiant, pour tout réel x0 , la condition initiale
du type G(x0)=3/2 , a pour expression algébrique G(x)=3/2

En remplaçant  les y et y' par G et G' on trouve bien 0=0 donc j'en déduis que c'est vrai
OK
Et plus simplement avec k=0, on trouve f(x)=ke(2x)+3/2=3/2

d) Les fonctions f solutions de (E) et satisfaisant une condition initiale du type f(0)>0 sont
strictement croissantes sur IR. Pour cette question j'en ai strictement aucune idée je me suis peut être trompé précédemment merci de me venir en aide.

simplement f(x)=ke(2x)+3/2, donc f(0)=k+3/2
si on impose f(0)>0, alors k>-3/2
or pour k=-1, f(x) est décroissante

Donc l'assertion "strictement croissantes sur IR" est fausse pour au moins une des solutions.

Posté par Donquihote Donquihote

Salut,
C'est faux :¨Pour commencer, détermine les valeurs de K pour lesquelles f(0)>0 (tu trouve ke K > -3/2)
Ensuite, dérive ta fonction et tu trouve f'(x)=2Ke^(2x). Or, si K est négatif (c'est a dire entre -3/2 et 0) alors f'(x) est inférieur à 0 (car e^2x est toujours positif) et donc ta fonction f peut être décroissante. Voila

Posté par dhalte dhalte

J'ai relu et je corrige une de mes réponses :
La fonction G, solution de l'équation (E) et vérifiant, pour tout réel x0 , la condition initiale
du type G(x0)=3/2 , a pour expression algébrique G(x)=3/2

En remplaçant  les y et y' par G et G' on trouve bien 0=0 donc j'en déduis que c'est vrai

raisonnement FAUX

g(x)=3/2 est effectivement solution de (E) et vérifie la contrainte : il existe un x0 tel que g(x0)=3/2 : d'accord. Mais en existe-t-il d'autres ? Là est la question

Alors, non il n'en existe pas d'autre : démonstration :

g(x)=ke(2x)+3/2 alors g(x0)=ke(2x0)+3/2=3/2, ce qui impose k=0, donc

les seules solutions à (E) qui ont un antécédent à 3/2 sont la fonction constante g(x)=3/2.

Posté par Donquihote Donquihote

en effet, ce deuxieme raisonnement peut être appliqué DIRECTEMENT ^^