Exercice sur les nombres complexes.

Posté par camus11 camus11

Voici  un exercice sur les nombres complexes , plutôt simple, excepté les deux dernières questions que je n'arrive pas.

Enoncé :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthormal direct (O ; ;).
1). On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation ( E ) : z³  + 8=0.
a). Déterminer les nombres réels a, b et c tels que pour tout complexe z :
                            z³ + 8= (z+2)(az²+bz+c).
b).Résoudre dans C l'équation ( E ) puis écrire les solutions de ( E ) sous forme exponentielle.
2). On considère les points A, B et C d'affixes respectives -2,  1-i  3   et   1+i3, le point D milieu de [OB] et la rotation R de centre O et d'angle 2/3.
a) . Déterminer l'écriture complexe de R.
b). Montrer que R(A)=B ;  R(B)=C et R(C)=A.
c). Montrer que le triangle ABC est équilatéral, puis placer A, B, C et D dans le plan.
3). a). On considère le point L défini par AL[vect]= OD[vect]. Déterminer son affixe z_L.
b). Déterminer un argument de z_L/z_D. En déduire que le triangle OLD est rectangle en O.
c). Démontrer par un raisonnement géométrique simple que le point L est sur le cercle de diamètre [AO] (on ne fera pas donc aucun calcul pour répondre à cette question).

Mes réponses :

1). a).
On développe à droite, puis après identification , on trouve :
   -a = 1 , b= -2 et c=4. D'où z³  + 8= (z+2)(z²-2z+4).
b).
Après calcul, je trouve z₀=-2, z₁= -1-i3 et z₂=-1+i3.
D'où la forme expo de z₀ est  2eⁱ⁰.
Après calcul, les formes exponentielles de z₁ et z₂ sont respectivement :  2 e^{-i 2/3}    et   2e^i2/3.
2).a).
R(A)=B    
z_B= e^i2/3 ( z_A -z_O)+z_O
z_B= e^i2/3*(-2)
z_B=(-1/2 + (3)/2i)*(-2)
z_B= 1-3i
De même pour les R(B)=C et R(C)=A  on trouve bien respectivement que z_C=1+i3   et   z_A=-2.
c). On calcule le module des trois côté du triangle, et on trouve pour les trois 12.
D'où le triangle est bien équilatéral.
3).a).
On a AL[vect]=OD[vect]
D'où z_AL=z_OD     avec z_D= (z_O+z_B)2= ½ - 3/2i (car D milieu de OB)
Après calcul, je trouve z_L = -3/2 -3/2i
b). Pour cette question, j'ai essayé de remplacer par l'affixe de L et de D, mais je tombe sur arg(-4) or je ne pense que cela soit correct.
c). Pour cette question, j'ai assez de mal,je pense qu'il faut utliser sans doute utiliser, entre autre, le résultat de la question précédente. A part cela je ne vois pas comment faire.

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

Si z₀ = -2 alors z₀ = 2eⁱ

Pour z_L/z_D tu dois trouver un imaginaire pur (refais tes calculs). Ce qui te permettra de conclure.

Enfin si l'angle LOD est droit alors il en est de même de l'angle OLA (AODL est un parallélogramme ; angles alternes-internes) et donc L appartient au cercle de diamètre [AO]

Lu et écrit rapidement, vérifie !

Posté par camus11 camus11

Merci, après avoir refait mon calcul, je trouve bien un imaginaire pur, et donc arg(z_L/z_D)= /2

Posté par littleguy littleguy


Le donc me gêne un peu. A un imaginaire pur non nul correspond un argument de /2 modulo (et donc /2 ou -/2 modulo 2). Essaie d'être un peu plus précis, même si pour la conclusion ça ne change pas grand-chose.

Posté par camus11 camus11

J'ai trouvé z_L/z_D=3i.
Or 3i est un imaginaire pur positif. Donc un argument de ce nombre est arg(z_L/z_D)= /2  [2].
(OL;OD)=/2  [2]
Et /2 correspond à un angle droit donc le triangle OLD est rectangle en O.

Posté par littleguy littleguy

Encore un détail : n'est pas tout à fait orthodoxe ; plutôt : z_L/z_D = bi avec b strictement positif (la partie imaginaire de a+bi est b, et non bi)

Posté par camus11 camus11

Ah oui en effet.
Eh bien, encore merci de m'avoir aidé.

Posté par destocaz destocaz

Bonjour,
J'ai un petit problème, pour la question 3) b) j'ai cherché toute la matinée mais je n'arrive pas a retomber sur un imaginaire pur. voila ce que j'ai fait :
ZL/ZD = ( -3/2 - (i3)/2) / (1/2) - (i3)/2))
et en simplifiant je fini par trouver : (-3-i3)/(1-i3)
Je ne peux donc pas répondre a la question suivante...

En l'attente de votre réponse.

Posté par destocaz destocaz

S'il vous plait aidez moi....

Posté par destocaz destocaz

désolé pour les multi réponse mais personne peux m'aider ?